УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

3. Найти пределы функций: у х3— х2— 4х + 4 х2— 4 при х —>2\ 2 ; 1 и со. у __ х3+ х2— 6 л : _ х2— 2х при л:—>— 3; 0 ; 2 и оо. ОТВЕТЫ' 1. (- 1 ; 5). 2. (1; 4). 3. (- 2 ; 2). 4. [2; 5]. 5. (2; J0]. 6. [-4; - 3] и [3; 4]. а 2V 6 7. [— 3; — 1), (— 1; — 1). и (1; 4]. 8. --- т----------- кв. ед., где а прини- 4 ( У 2 cos а + sin а) или приближенно э [0°; 70°32'). 9. [5; ос). 10. (— оо;10). мает значения в [• 1 ' arc cos — 3 И . (1; 2), (2; 3) и (3; 4]. 12. а)[0; <*>); б)[5; оо); в) ( - оо; 3]. 13. а) ( - оо; 0] и [2; оо); б) [0; 5]. 14. а) [10; 20]; б) X = 10; в) нет таких значений X , для которых У— действительное число. 15. а) (— оо; 0) и (0; со); б) (— оо; о ) и (5; оо); в) ( — оо; 1), (1; 2); (2; 3) и (3; оо); г) (— оо; — 2) и (3; оо). 16. а) (3; оо); б) [5, 10); в) ( - оо; — 1) и (1; оо); г) (— оо; 0), (0; 1) и (1; оо). 17. а) (2; оо); .6) (— оо; 5); в) (— оо; 1) и (3; оо); г) (1; 3). 18. а) X — любое действительное число, кроме чисел вида — ^ЗК + ; где К — любое целое; б) [— 5; 3]. 19. S = — ab sin а, где 0 ° < а < 1 8 0 ° . 20. V = — . а-— cos3a 2 24 COS а 30° < а <90°. V- где 21 . К = - 1, для Л < — 2, — X, для — 2 х < 2, 1, для Х > 2 . 22 . Y 25. а) X = ± КЗ . 2, для X < — 3, 1, для — 3 ^ — 1, - 1, для — 1< Л ' < 1, 1, для 1< * < 3 , 2, для Х > 3 . X = — (4k — 1), где К. — целое число. 2 30. а) убывающая на (— оо; оо); б) возрастающая на (— оо; со); в) убывающая на (— оо; 0] и возрастает на [0; оо); г) возрастает на (— оо; 0] и убывает на [0; оо); на ( k — — ^ г.; kit ; е) возрастает д) убывает на \^т'> ** возрастает [' на |(4£ — 1) — ; (4k + 1) — и убывает на (4А + 1 ) - ; (4k + 3) —- 6 Ь 31. а) Функция возрастающая, причем на (— оо; 3) она возрастает от — 1 до оо, а на (3; оо) — возрастает от — оо до — 1. Прямые х = 3 и у = 1 являются асимп­ тотами (черт. 50а). б) Функция возрастающая, причем на (— оо; 0) она возрастает от 1 до оо, а на (0; оо) — возрастает от — оо до 1. Прямые х — 0 и у = 1 являются асимптотами (черт. 506). ' в) Функция убывающая, причем на (— оо; 1) она убывает от 1 до — оо; а на (1; оо) — убывает от оо до 1. Прямые х = 1 и у — 1 являются асимптотами (черт. 50 в). г) На [0; оо) функция у — убывает от 6 до 0 (черт. 50 г), д) На [0; оо) функция s — возрастает от 1 до 5 — асимптотически (черт. 50д). 32. а) у = х2+ х + 1 =• 3_ 4 1 Х + 2 = ° ’ y = j , но 1V 3 x + l ) + т- При / 1V з з f х + — ) > 0 ; значит, У > ~ ^ » то есть — — минимум функции, который достига- 1 - f 1\д. * 3 do; — — ) функция убывает от оо до а на ется при х — — . Отсюда, на 98