УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Второе определение непрерывности функции в точке По первому определению непрерывности имеем: lim /(x ) = / ( с ) ; X -*■С отсюда по определению предела функции для любого е > 0 суще­ ствует такое 8 > 0 , что из неравенства \х — с | < 8 следует неравен­ ство 1 / 0 0 — f(c)\ < е . Но разность х — с = Дх— приращение аргумента, а разность f(x) —f(c) = Ду — приращение функции в точке С (см. черт. 48). Тогда для непрерывности функции / (х ) в точке С необходимо, чтобы из |Дх | < 8 следовало |Ду|<е, т. е. из бесконечно малого приращения аргумента должно следовать бесконечно малое прира­ щение функции. Отсюда определение: функция у = Дх) называется непрерывной в точке С, если бесконечно малому приращению аргумента соответ­ ствует бесконечно малое приращение функции в точке С. Следовате ;ьно, если в точке D при Дх—>0 и Ду—>-0, то функция в этой точке непрерывна. П р и м е р 1 . у = kx + I. Для некоторого Дх найдем Ду в произ­ вольной точке X. Если у + Ду = k (х + Дх) + I, то Ду = &-Дх, откуда видно, что при Дх—>0 и Ду—>0, поэтому линейная функция непрерывна во всей обла­ сти определения. П р и м е р 2. у = ах2 + Ьх 4 - с. У Ду == а (х +Дх ) 2 4 - b (х + Дх) + с. Ду = (2</х + b + а- Дх)-Дх. При любом фиксированном значении X величина 2 ax-yb + a Дх является ограниченной, поэтому при Дх—>0 произведение Ду—>0. Следовательно, квадратный трехчлен является нерерывной функ­ цией в любой точке области определения. Примеры для упражнений. 43. а) Показать, что функция у — хг непрерывна в точке X = 2 , а также на ( — оо; оо). б) Показать, что функция у = — непрерывна в точке X = 3, а также на (— оо; 0) и (0 : оо). в) Показать, ч (— оо: оо). § 15. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ВСЕЙ ТЕМЕ (Примерный текст в двух вариантах). 1. Установить область определения, промежутки монотонности и характер изменения функции на них; ограниченность или неогра­ ниченность, непрерывность и др. свойства функции; наименьшее или наибольшее значение и построитьграфик для функции: 1 2. А 3 2 у = — х ; у = х . 2. Показать, что данная функция имеет предел .равной нулю: __ х3+ 6-<2+ 9х __ 4х — 4х2 + х3 * + 3 х — 2 при х — > 0 и х —*— 3;при х — > 0 и х —> 2 . б -142,-7 97 j TZ то функция Y = sin х непрерывна в точке Я = -—, а также в