УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

•важную роль и анализ часто называют исчислением бесконечно малых. Большинство курсов анализа начинается с изучения свойств бесконечно малых, на базе которых строится теория пределов и последующие отделы анализа. 2. Подобно тому, как вычислялась площадь треугольника в примере 1, § 12 можно, применяя понятие предела функции, вычислить площадь, ограниченную полу­ волной синусоиды и осью х-ов. а в стереометрии — вычислять объемы пирамиды через объем призмы, объем конуса и шара через объем цилиндра. Эти примеры приводят к суммированию числовых или тригонометрических ря­ дов и поэтому имеют двойной интерес и ценность. Они настоятельно рекомендуются для внеклассной работы с учащимися. § 14. ПОНЯТИЕ О НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ С понятием непрерывности функции следует познакомить уча­ щихся не потому, что оно понадобится в будущем (все последующее можно строить не опираясь на непрерывность функции), а хотя бы только потому, что это понятие само по себе имеет образовательное значение. С термином „непрерывность" учащиеся уже встречались, поэтому они должны, наконец, уяснить математический смысл этого понятия. Пусть имеется функция у — /(х ) , определенная на (а; b ), и точка С, принадлежащая области определения этой функции. Тогда в точке С возможны два случая: либо предел этой функ­ ции совпадает с ее значением в этой точке, либо не совпадает, т. е. или lim f(x ) = f(c), или lim /(x ) Ф f(c) X -* С X — с О п р е д е л е н и е . Функция у = / (х) называется непрерывной в точке С, если предел этой функции при х — равен значению ее при Х — С, т. е., если lim / ( x ) = / ( c ) (черт. 48). X - * С Если lim / ( х ) ф f(c), то функция в точке С называется разрывной, X -*■С а точка С — точка разрыва функции (черт. 49). О п р е д е л е н и е . Функция v = /(х ), непрерывная в каждой точке интервала (а: Ь) или сегмента [а:Ь\, называется непрерывной на ин­ тервале или сегменте. 96