УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Возьмем произвольное число е > 0 и покажем, что существует такое 8 , что из л: < 8 будет иметь место неравенство 1 — sin X < е. Достаточно взять о = е, тогда из х < е получим sin х 1 - следовательно, по определению предела функции ,. sin * , lim --- = 1 , <» х - » О X П р и м е р 18.Найти lim sin5* д х -* О X ,, sin5jc .. 5»sin5jc _ .. sin 5х _ , _ l im ----= lim -------= 5*lim -----= 5-1 = 5. x-~0 X л — 0 OX 5x 0 5x t-г i n тт » <i cos x — cos 3a: П р и м е р 19.Наити lim ------------. дг о x2 co s * — cos3x .. 2 sin 2A>sin x . . . sin 2x sinAt , l im ---------- = Urn ---------= 4 lim ----- lim- X - О X2 x -* oo X2 2 x -*о 2a: лг л о x П р и м е ч а н и е . Примеры вида lim sin x = sin <p и lim cos x = cos а просты, но- X -*■ <p x - * a тем не менее должны быть разобраны в классе обязательно. 40. Найти: a) lim (2л2— За: + 5) х2+ 1 б) lim в) lim Примеры для упражнений при х — 1; 0 и 2; при х — 1; 0 и 1; х + 1 sin 2 л : 2 cos (л — л:) 41. Найти те jc п при * - > т ;0 ; : a) lim J^2 (л: + 3) — — -J при х 0 и 2; б) lim [2 (sin х — cos х ) — х2] х 3+ 2х2— х — 2 в) lim г) lim л:3 + 4л:2+ л: — 6 х3— 2х2— х + 2 42. Найти: 1. lim х2— х — 2 1 — sin х it — 2х при х 0 и — ; при л:Н>— 2; 0; 1 и оо; при х — 1; 0; 1; 2 и ос. sin 4л: 2. lim ----- х - О х 3. lim tg 2л: х -+0 2х 4. lim .»-о tg х — sin л: л:3 5. lim (A:-ctg 2л:); х — О sin 6. lim- (^-т) X X cos — — sin — 2 2 7. lim ------------- ; 8. lim V x + 1 -x-\ cos X ; 9. lim У 4 — x — 1 ^ -3 У \2— x — 3 П р и м е ч а н и я . В математическом анализе переменные величины, пределы которых равны нулю, называются бесконечно малыми величинами. Эти частные при­ меры переменных величин, т. е. бесконечно малые величины, играют исключительно 95