УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

а также используется при нахождении производной от тригономе­ трических функций. Впервые предложение, равносильное данному пределу, было доказано древнегреческим ученым Диностратом в IV веке до н. э. Для доказательства этого предела обычные приемы, рассмот­ ренные нами, не дают положительных результатов. Поэтому при­ дется рассмотреть один из особых приемов, который часто встре­ чается при доказательстве подобных пределов. Предварительно для уяснения смысла выражения s‘n х■ составим таблицу его значений при х —> 0 . It те 1Е тс я 0 я л ■к 7С ъ я 4 6 12 18 36 36 18 12 6 4 3 0,90 0,955 0,989 0,995 0,999 0,999 0,995 0,989 0,955 0,90 0,827 . . . sin Из таблицы видно, что при х —>-0 -- —*1. В связи с чётностью X этой функции будем находить данный предел лишь при х > 0 . Для доказательства рассмотрим в круге радиуса R центральный угол х < у (черт. 47). Прежде всего заметим из чертежа, что вс sin X ----, R vj BC „ а х = —— , где х — в радианах. Но так, А как всякая хорда окружности короче стягиваемой ею дуги, то ВА < ВА , тогда ВС < ^jBA и подавно; значит, s l n x < x (равно при х = 0 ). Это неравенство верно для любых х в полусегменте ^0; . Сравним площади фигур: Д ОАВ, сектора ОАВ и Д ОАО. Из чертежа видно, что SAOAB< SceKT_ОАВ< SA 0AD, откуда 1 X 1 — • OA 'BC < tz R2‘— < — OA-AD. Разделив это неравенство на R 2, 2. Z tz 2 будем иметь — < х < — илиs i n x < x < t g x . Разделимэтонера- венство на sinx. Так как s i n x > 0 , то 1 < —— < 1 sin X COS X , ^ sin X . или 1 > --- > COS X, или — 1 < — sin X < — cosx (после умножения на — 1 ); или 0 < 1 — Sin X < 1 — cosx (после прибавления 1 ); или 0 < 1 - ^ ^ < 2 sin2— < 2 sin — , но s i n— < — ■X 2 2 2 2 ’ г. л Sin X , тогда 0 < 1 --< х, или 94 1 sin X < х, где 0 < X < — .