УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

В этом примере также выражение (оо — оо) необходимо при­ вести к другому — определенному. 3 lim Г— 5----------------- :-------^-—1 = lim — -— • Г1 - -— -1 = [_jc — 1 л:3— 1J х — 1 L x2+ x + l J = lim 1 х2+ х — 2 х —1 х2+х + 1 х + 2 = lim lim- х х 1 (х — 1) -(jc 4- 2) '( х — l) ( x 2+ х +1) 3 ,1 X2+X + 1 х — 5 1 . П р и м е р 15. Найти lim _____ х-ь Y х — 1— 2 lim х — 5 lim -{х — - - 2) = lim (У х - 1 + 2) = 4. х — 1— 4 У х — 1— 2 X лг-5 П р и м е р 16. Доказать неравенства вида lim / (x ) = A х-+а \ " Верность такого ’равенства следует проверять по определению предела функции, т. е. если при |х — а|—* 0 , будет |/(х) — А|—> 0 , то это равенство справедливо. а) Доказать, что Пт (2х2— Зх + — ^ = 1. х~1 \ х J Образуем разность: 2х 2 — Зх Н----- 1 2х — 1 - — х При х —*1 |х — 1 1—»0, а ] у — 1 |—> 0 и lim у — 1 . дг—► 1 2х + 1 ( x - 1 ) - ^ 2 j c - 1 - - j ) -* 1 ; значит, б) Доказать, что lim ( Jf—►ОО\ Образуем разность: |_у— 4 f = 1 + 2) = 4. 2х + 1 + 2 - 1 X При х —* оо в) Доказать, что lim Л --0 Образуем разность: 0; значит, lim у = 4. Х-+ОО У Т —У Т ^ х _ К 2 У 2 — У 2 — х У 2 v У 4 х 4 (V 2 - V 2 - x )- (V ~ 2 + У 2 - Х ) V 2 х(У2 + У 2—Х) При х —>0 видно, что V 2 + V 2 — х У - V2 2 V 2 V2 ■ 0 ; значит, lim.y = -- . jr-»0 4 ___ 2 г) Доказать, что lim ---- - *— 2 х + 2 оо при х < — 2 . lim х — 2 х -* —2 Х + 2 lim 1 -2 X + 2 lim (х — 2) — — оо- ( — 4) == оо . П р и м е р 17. Доказать, что lim sin х 1 при х —* 0 . Этот так называемый „замечательный предел" часто приме­ няется при вычислении пределов тригонометрических функций. 93