УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

следовательно, lim х-~\ х2 + х — 2 х — \ 3. Вычисление пределов функций на основе теорем о пределах Теоремы о пределах функций (без доказательства). Пусть Ух = / [ (х)\ у2 = / 2(jc); y a= f sW имеют пределы при -»а, тогда lim (.у, + у 2—у3) = lim .у, + lim.y 2 — lim jv. х-*а х-*а х ^ а х-*а lim (У г У ъ ) = lim jv lim j^ ; У 1 lim у { х-*а lim х-*а у г lim у 2 х-+а где у 2 ф 0 . Рассмотрим пределы простейших функций: a) lime = с, где с — постоянная величина; б) \\тх lim — = х а, если х —* а, 0 , если х — * 0 , оо, если х —» оо, — оо, если х — *— оо, 1 1 Л — , если х —*а, где а ф 0 , а 0 , если х —*' + ос, оо, если х — * 0 при х > 0 и — оо, если х — > 0 при х < 0 . 2х2— За: + 1 при х —♦ 1 . П р и м е р 6 . Найти иредел у = : х2+\ lim 2-lim Ar-lim х — lim 3-limx + lim 1 Р е ш е н и е . lim JT — 1 2x2— 3x + 1 __ x2+ 1 _ 2-1-1 -3-1 + 1 M + 1 lim jc-lim x + lim 1 - = 0 . 2 2^2_Зд; | П р и м е р 7. Найти предел у — ;— при х- Р е ш е н и е , lim дг-»3 2х2— Зх 4-1 л :2 + 1 х2+ 1 2-3-3— 3-3 + 1 • 3 . П р и м е р 8 . Найти предел у 3-3 + 1 2л:2— Зх 4- 1 при X —► 1 . х 2 — 1 В этом примере непосредственно вычисление lim у приводит 0 к выражению — , которое свидетельствует о том, что числитель и знаменатель делятся на х — 1. Поэтому при х=£\ выражение Ъх2- Зл:+1 (JC— 1)-(2лс — 1) 2* — 1 — ' тождественно выражению Сле- ■ДС2 -— 1(АТ— - l)-(jc + 1) X + 1 I! 1 • 2 л:— 1 1 довательно, lim у = lim ---- = — . ж -*1 х -*1 х+ 1 2 Примечание. При нахождении предела функции у при х —+а не следует пользоваться пределом переменной-аргумента, т. е. искать lim.y надлежит при х=£а. 91