УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Вычисление пределов функции на основе определения предела П р и м е р 4. Найти предел функции у = 4х — 3 при х — >2. а) Составим таблицы значений у: I. X . . . 1,7 1,9 1,95 1,995 2 2,005 2,05 2,1 2,3 . . . У . . . 3,8 4,6 4,8 4,98 5 5,02 5,2 5,4 6,2 . . . II. X . . . 1,8 1,9 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,1 2,2 . . . У . . . 4,2 4,6 4,96 4,996 5 5,004 5,04 5,4 5,8 . . . Из таблиц видно, что при различном стремлении х к 2 как слева, так и справа, у неизменно стремится к 5 . б) Докажем, что 5 есть предел данной функции при х —>2. Возьмем произвольное число е > 0 (пусть е = 0,0004). Образуем разность \у— 5| = |4х — 3 — 51 = 4. \х— 2\. Возьмем число ®= ~ , (то есть о = 0,0001) и будем брать зна­ чения х, удовлетворяющие неравенству |х — 2 |< 8 , или 2 — 8 < х < 2 + 8 . (Конкретно следует брать в интервале от 1,999 до 2,0001), тогда 4«[х — 2| <43 = s, т. е. \у— 5 1< s (или 4,9996 < у < 5,0004), значит, 5. П р и м е р 5. Найти lim lirn х -*2 х2 + х — 2 при X —* 1 . а) Составим таблицу значений данной функции при х — >1. (Достаточно составить одну таблицу). X . . . 0,8 0,9 0,99 0,099 1 1,001 1,01 1,1 1,2 . . . У . . . 2,8 2,9 2,99 2,999 о |о 3,001 3,01 3,1 3,2 . . . Из таблицы видно, что при х —>1 значения функции стремятся к 3, хотя при х = 1 данная функция не определена. ___ 2 б) Докажем, что 3 есть предел ----- --- при х — >1. X — 1 Возьмем произвольное число е > 0 (например, е = 0,000). Обра- Я ‘ + Л ---- Z о Л ‘ ---- А Х -f- 1 I 1 . , 1 зуем разность: ----- ----- 3 = --- ----- =\х — I | при хф\. Возьмем 8 = s и будем брать х, удовлетворяющие неравенству |х — 1 1 < 8 , тогда будет иметь место неравенство: х2+ х — 2 х — I < г; 90