УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

нечные последовательности чисел (1) и (2) как бы создают (обра­ зуют) одну и ту же общую для них бесконечную десятичную дробь (непериодическую). Далее сообщается учащимся, что создаваемая (конструируемая) в процессе измерения отрезка АВ, несоизмеримого с единичным отрезком PQ, бесконечная десятичная непериодическая дробь назы­ вается положительным иррациональным числом и принимается за длину отрезка АВ (в единицах PQ). О п р е д е л е н и е . Иррациональным числом называется беско­ нечная непериодическая десятичная дробь *. Рациональные и иррациональные числа образуют множество чисел, называемых действительными. Таким образом, обьяснив учащимся на вышерассмотренных при­ мерах сущность процесса десятичного измерения отрезка, делаем вывод, что длиной отрезка называется положительное действитель­ ное число (рациональное или иррациональное), получаемое в про­ цессе измерения. Если измеряемый отрезок соизмерим (несоизмерим) с единич­ ным, то его длина выражается рациональным (иррациональным) числом. Доказательство того факта, что длина отрезка, несоизмеримого с единичным, выражается бесконечной непериодической десятичной дробью, может быть проведено методом от противного. Допустив, что длина отрезка, несоизмеримого с единичным, выражается перио­ дической десятичной дробью, приходим к противоречию с аксиомой Кантора или Архимеда. Мы опускаем это доказательство и полагаем, что в школе оно может быть также опущено вследствие его логи­ ческой трудности учащимся. Также без доказательства, но с пояснениями могут быть рас­ смотрены и следующие свойства длин отрезков: 1. Равные отрезки имеют равные длины при одной и той же единице измерения. 2. Длина отрезка, состоящего из нескольких частей, равна сумме длин этих частей. 3. Отрезки, состоящие из соответственно равных отрезков (рав- носоставленные отрезки), имеют равные длины. 4. Если отрезок состоит из нескольких частей (отрезков), то длина каждой его части менее длины всего отрезка. П р и м е ч а н и е . Легко показать, что свойства 3 и 4 являются следствиями 1-го и 2-го свойств и свойств суммы положительных действительных чисел. Г Л А В А 2 ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ Понятие о длине окружности, установление прямо-пропорцио­ нальной зависимости между длиной окружности и ее радиусом или диаметром, а также вычисление коэффициента пропорциональности (числа П) в курсе 7-го и 10-го классов изучаются, конечно, раз­ лично. * Учащимся следует разъяснить, что иррациональное число не является част­ ным случаем дроби. Иррациональное число есть новое, нерациональное число, изо­ бражаемое непериодической бесконечной вереницей десятичных знаков. Надо разъ­ яснить, что слово „дробь” в определении иррационального числа употребляется чисто условно, в силу сложившейся традиции, подобно тому, как мы говорим и пишем „лошадиная сила" вместо „лошадиная мощность'1 и т. п. 9