УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Определение предела функции Число А называется пределом функции у = / (х) в точке а, если для любогог > 0 существует такое 8 > О, что из неравенства |а*— а |< 8 следует неравенство \у — А |< е. Это определение может быть упрощено следующим образом: „Число А называется пределом функции / ( х ) в точке а, если при х,стремящемся к а (любым способом как слева, так и справа) / ( х ) —*Л“. Или, Число А называется пределом функции f(x) в точке а (или при х —*а), если нри |х — и \ —* 0 имеет место \f (х) — А |—*0". Если А е£ть предел функ­ ции у = /(х ) в точке а, то £то записывается так: lim /(x ) = А. х-*а Рассмотрим ряд примеров пределов функций. П р и м е р 1 . Найти пре­ дел функции v = — + 2 при х *2. Согласно правилам, рассмотренным в § 1 2 , нахо­ дим, что М т (~ + 2^ = 3. *2 V 2 В данном примере при х = 2 значение функции также равно 3. Из чертежа 44, соответствующего данному примеру, видно, как для любого числа е > 0 можно указать такое число 8 > 0 , что для всех х, находящихся в интервале — ( 2 — 8 ; 2 + 8 ), соответ­ ствующие им значения функции попадут в интервал (3 — е; 3 + е). х-2 2 х - 8 П р и м е р 2. Найти предел функции у = —^ ■ при х->2. При х = 2 функция у не определена, поэтому будем рассматривать у при х ф 2 , Тогда _ (х — 2) (х + 4) _ х + 4 ^ ! 2(jc — 2) 2 х “I- 4 и lim ----= 3. Однако в данном случае / (2 )^ = 3 (черт. 45). л->-2 2 П р и м е р 3. Найти предел функции у — — •2. Данную функцию можно записать так: 3, при х > 2 , I-у— 2 1 х — 2 при X т неопределенность при х = 2 и у + 1, ПРИ х < 2. Тогда при х —»2 88 получим, что: 4, при х > 2 и 2 , при х < 2 .