УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

В примерах 1 и 3 предыдущего параграфа рассматривались пределы последовательностей 5 и у, зависящих от п при п— *оо, где и— натуральное число. Здесь 5 и у есть функции от п , по­ этому в этих примерах мы имели дела с нахождением пределов функций. В школьном курсе геометрии используются именно функции последовательности и их пределы при изучении вопросов о длине окружности, площади круга, объеме пирамиды, поверхности, и объеме тел вращения и др. Пределы последовательностей рассматриваются лишь при га—*оо. В примере 2 переменные х и у не имеют аналитической зави­ симости от каких-либо других величин, но по существу дела и эти переменные являются функциями, т. к. их значения зависят от по­ ложения точки А. Если же положение точки А на дуге сегмента фиксировать углом СВА, который обозначим <р, тогда х и у можно аналитически выразить через <р: х — — <р и у = 2а sin <р, где 0° < <р< 150°; следо­ вательно, х и у функции от <р. Тогда при ®—>• 7 - lim x = — и lim_y = 2a; 2 3 а при <р—»оо lim = — и lim.y = 0 . 6 В рассматриваемом примере переменные х и у связаны и между собой. В самом деле, исключив <р, получим: I у — 2а sin — В этом равенстве можно рассматривать как функцию либо у, либо х, тогда аргументом будет соответственно либо х, либо у. Если у — функция, а х — аргумент, то остается в силе поста­ новка задачи: для х — предел указывается, а для у — вычисляется в зависимости от предела х. Так, lim j^2a*sin — х = 2а, з я , /5я \ . /5я 1 Г\ тс л т. к. при X — »— sin ( ---- X ) — » s i n ( -------- ) — * sin — = 1 . 3 \6 J \6 3 / 2 Таким образом на материале § 12 постепенно формировалось новое понятие предела — предела зависимой переменной, т. е. функции. Понятие предела функции характерно следующими особенно­ стями: а) должен быть указан предел аргумента, например при х —*а, а в связи с этими утверждается, что предел функции рассматри­ вается в точке а; б) способ стремления х к а произвольный; для значений х можно выбирать любую последовательность чисел, приближаю­ щихся к а как слева, так и справа от а\ важно, чтобы абсолютная величина разности \х— а\ стремилась к нулю; в) если при х —>а значения функции у = / ( х ) стремятся к числу А, при любом процессе изменения величины х, то число А будет называться пределом функции y = f ( x ) ; г) если же при одном способе стремления х к й f ( x )—*Alt а при другом способе стремления х к a f ( x )—*A2, то в точке а данная функция предела не имеет. 87