УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Возьмем е = — , где k — натуральное число. 1 0 * Образуем разность \у— 3 1 = 1 2дс + 1 — 3 1 = 2 1 jc— 1 Найдем X] такое, чтобы выполнялось неравенство: откуда 2 -|х, — 1 |< -5-г, 1 1 ' 1 0 * 2 1 0 * ' ‘ 2 1 0 * Тогда для всех X, взятых из интервала (\ ---- — 1 Н-- ]— к V 2 - 1 0 * 2 - 10 * будет выполняться неравенство b - s K ^ r - . . ] Следовательно, lim_y = 3 прид:—> 1 . На рассмотренных примерах 1 и 3 мы показали как находятся пределы последовательностей, а на примерах 2 и 4 — пределы пере­ менных величин, основываясь на признаке существования и опре­ делении предела последовательности. Однако практическое вычисление пределов последовательностей осуществляется на применении основных теорем о пределах, кото­ рые (без доказательства) рассматривались ранее. Напомним их. Если последовательности _у,; у2; у3 и т. д. имеют пределы, то имеют место следующие положения: 1 . lim [ 3 ;, -f- у 2 У з] = l i m -f Iim_y 2 — lim j/3; 2 . lim [У] 'у2\ = lim_y, •lim.y2; 3. lim — = — , где lim_y 4 i= 0. y2 lim y2 Примеры для упражнений 39. Найти пределы у при лг-т>оо : Зл + 2 я — 1 Зл2— 4л + 5 6 ) -v" ^ r : •) ->'- " S . - 1 ; л4— 4 (л — I ) 3 г)- * = - ^ ; Л)У=7^ГТ ):■ § 13. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Известно, что переменные величины подразделяются на неза­ висимые (аргументы) и зависимые (функции). Следовательно, в пре­ дыдущем параграфе мы встречались с пределами последователь­ ностей и пределами переменных, т. е. с пределами функций. При одном и том же общем определении предела переменных понятие предела функции отличается от понятия предела независимой пере­ менной самой постановкой задачи нахождения пределов. В самом деле, предел независимой переменной мы просто за­ даем или указываем; например, х —»1; х — >3; х —>оо и т. п. и иллю­ стрируем этот процесс изменения независимой переменной таблицей ее значений (см. примеры 3 и 4 § 12). Если же рассматривается предел зависимой переменной, т. е. функции, то ставится задача о существовании предела и его на­ хождении при заданных условиях. 86