УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

В рассмотренных примерах 1 и 2 переменные S, х и у обла­ дают той важной особенностью, что процесс их изменения имеет определенное направление. Это позволяет легко установить пре­ делы подобных переменных величин. 4п— 2 П р име р 3. Найти предел переменной у — ----- , где п — на- П туральное число. В данном примере предел у следует искать только при неограниченном возрастании п , отсюда процесс измене­ ния п ясен и единственно возможен, а) Составим таблицу значений у. п 1 2 3 . 4 5 10 100 1000 . . . . у 2 3 1 3 з" 3,5 3,6 ................... 3,8 3,98 3,998 . . . . Из таблицы видно, что при п—>со у б) Докажем, что 4 есть предел у. •4. Возьмем е = — где k 10 * натуральное число. Образуем разность \у— 4| = _ 4п — 2 4 — 2 _ 2 п п п Найдем N такое, чтобы имело место равенство: 2 или 7V= 2 * 1 0 *. N 1 0 * Тогда для всех п > N будет выполняться неравенство: — < — = е п N £' Откуда следует, что \у— 4\ < £- и по определению предела последовательности будем иметь lim_y = 4. П р и м е р 4. Найти предел переменной у = 2х+ ] при х —<>1. В этом примере процесс стремления л к 1, а значит и процесс изменения у не указаны и не предполагаются определенными. Бу­ дем брать значения х, приближающиеся к 1 как слева, Т^к и справа, но так, чтобы эти значения были упорядочены по величине (рас­ положены по возрастанию), т. е. образовывать последовательности значений величин х и у, тогда_можно будет обнаружить .тенденцию стремления соответствующих значений у к некоторому пределу (если он существует), а если такой тенденции не обнаружится, то при заданном условии переменная у предела не имеет. а) Составим таблицу значений у. X 0,8 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1 1.2 . . . У 2,6 2,8 2,98 2,998 3 3,002 3,02 3,2 3,4 . . . Из таблицы видно, что при х —>1 у —* 3. б) Докажем, что 3 есть предел у (опираясь на определение предела последовательности). 85