УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

имеет предел, а по определению предела lim Sn = Q. Докажем, что Q есть предел Sn. Возьмем любое е > 0, напри­ мер, а = , где k — натуральное число и образуем разность: |S„-Q| = q A ----- —Q = Q( ----------— n+lj , V n+\J\ tl + 1 Найдем такое N, чтобы т. e. N = Q- 1 0 \ N 10* тогда для всех n + 1 > TV будет иметь место — < — = е, т. е. ^ < е и |5„— Q |< е, что и требовалось. п + 1 N п + 1 П р и м е р 2. Возьмем сегмент, построенный на отрезке а и вмещающий угол а = — . Пусть ВС = а и CF — диаметр, который 6 будет равен 2 а. Представим себе, что точка А, начиная от точки В, переме­ щается по дуге сегмента в направлении к точкр С. При движении точки А будем следить за процессом изменения величины хорды АС и величины угла ВСА (черт. 43). Пусть хорда А С = у , а /_ВСА = х. Нетрудно видеть, что при заданном процессе переменная величина v возрастает от а до 2а, когда точка А пере­ мещается от S до Z7. В точке F хорда становится диаметром, сле­ довательно, достигнет максимума. Далее, при движении точки А от F к С величина у убывает от 2а до 0. Величина у принимает все действительные значения (0; 2а). Величина х, с перемещением точки А от В к С, возрастает от 0 до некоторой постоянной величины, когда А неограниченно приближается к С. Точка А не должна совпадать с точкой С, т. к. в случае со­ впадения их говорить об угле ВСА не будет иметь смысла, ибо он перестанет существовать. Итак точка А стремится к точке С, а при этом положение секущей АС стремится к положению каса­ тельной СТ. Отсюда величина угла ВСА стремится к величине угла 5гс ВСТ = — , хотя никогд^ его не достигает. Значит, переменная х изменяется в промежутке ( 0 ; , принимая в нем все действи­ тельные значения. Переменные х и у существенно отличаются от переменной S„ непрерывностью своего изменения, тогда как Sn изменяется скачко­ образно. Перемещением точки А в направлении от В к С по существу задан процесс изменения переменных х н у . Поэтому можно рас­ смотреть ряд частных случаев: а) Если A —>F, то легко видно, что х —*— , а у —>2а, что О принято записывать так: lim x = -^- и \irny = 2а. б) Если А —>С, то л:—>150° и у — *0; значит, при этом lim х = 150° и \\rny= 0. 84