УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

+ + -f- отрезков АВ0\АВХ...АВ„, все убывающих и также приближающихся к длине АВ (см. чертеж 1). Очевидно, что в данном примере бесконечный процесс измере­ ния приведет к образованию (конструированию) бесконечной деся­ тичной периодической дроби 2,333..., являющейся точным значением длины отрезка АВ. Следует разъяснить учащимся, что если бы вместо десятичного измерения отрезка АВ проводить измерение, например, третьими, долями единичного отрезка , то процесс измерения оказался бы конечным, так как -^-PQ укладывается ровно 7 раз в отрезке АВ Этот пример подготавливает учащихся к тому, что процесс де­ сятичного измерения отрезка может быть бесконечным и что обра­ зующаяся при этом бесконечная десятичная дробь является точным значениеч длины измеряемого отрезка. Теперь можно перейти к _ рассмотрению случая, когда то- Р •* Q резки АВ и PQ несоизмеримы*. >■-..... .. ----I ^ В качестве примера несо­ измеримых отрезков рассмо- "1‘ трим диагональ и сторону в в, о ^ о квадрата, приняв сторону _ “ 1 квадрата за единичныи отре- Б, В, зок. Объяснение можно так- 1 же вести по заранее заготов- Чертеж 2. ленному на листе миллиметро­ вой бумаги чертежу-таблице 2. 1 PQ = АВ0< A B < A B 0= 2-PQ \,APQ= AB, < А В < А В Х = 1,5 -PQ 1,41PQ = АВ2< А В < АВ 2= 1,42-PQ Таблица 2. Объясняется учащимся, что процесс измерения будет бесконеч­ ным и в результате этого бесконечного процесса измерения обра­ зуются две бесконечных последовательности чисел: 1; 1,4; 1,41,.. (1) 1: 1,5; 1,42... (2) Члены первой последовательности являются длинами соответ­ ствующих отрезков последовательности АВ0\АВи АВ2... (в едини­ цах PQ), а члены второй последовательности есть длины соответ- ' + + + ствующих отрезков последовательности АВ0\АВХ\АВ2... — Н- Как видно, точки Вп и Вп неограниченно приближаются к точке В. Следовательно, и члены последовательностей (1) и (2) также неог­ раниченно сближаются, поэтому число общих десятичных знаков у них неограниченно возрастает (накапливается). Тем самым беско* Мы полагаем, что к этому’ времени учащиеся познакомились с соизмеримыми и несоизмеримыми отрезками, с примерами существования несоизмеримых 0 Т| езков, а также с аксиомами Архимеда и KaHTOja. 8