УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Из A sin д ах ^Л -sin (wx+2kn) следует Л -sin wx=A sin w (x+ — )= r \ w / i 2 kn . 2n = A -sin w (x + /), откуда / = •--- и /0 = — является минимальным iso w периодом данной функции. Действительно, Т = ----период коле- W бательного движения, a w — циклическая частота колебаний. П р и м е р 3. Построить графики функций: Vi =s i nx ; y 2 = sin2x; _y 3 = sln-^- на одном чертеже и сравнить их минимальные периоды (черт. 32). Установление периодичности и периода функций может быть выполнено и другим приемом. П р и м е р 1. Установить периодичность и период функции у = sin {mx + п), где m и п — постоянные. " Обозначим искомый период функции /, тогда должно иметь место равенство: sin (mx + п) = sin \m (х + /) + /г], или sin (mx + п) — sin (mx + ml n) = 0 , или 2 cos (mx + n + ' sin = 0 - Для произвольных значений x выражение cos (mx+n-\- Ф 0, ml r, ml , , , 2it значит, s m -- -- 0 , т. e. -- = kit, откуда I = k ---. 2 2 m Следовательно, функция v = sin (mx + n) имеет период k--^- , m где k — целое. П р и м е р 2. Показать, что функция y = x + cosx не является периодической. Допустим, что / — период данной функции, тогда должно иметь место равенство: х + cos х = х + / + cos (х + /), или cos х — cos (х + /) = I, или 2 sin ^х + •sin -j = /, (х+1) = или sin 2sin — 2 Это равенство для любого х невозможно, т. к. левая часть его есть величина переменная, а правая — постоянная. Следова­ тельно, данная функция не является периодической. Примеры для упразднений 34. Найти период функции: а) у = sin ^Зх + ; б) у = cos ^4х + ; X в) У = tg Зх; г) у = sin у . 35. Построить график функции у = sin 2х + sin х и по графику определить ее период. 77