УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Если, оставаясь положительными, значения х стремятся к 0, то у — неограниченно возрастает, асимптотически приближаясь к оси у-ов. 1 При х-+ор, —— »0, значит, у —*■ 1. Имея данное исследование, можно построить график данной функции (черт. 31). 4. Функция у = f(x) называется ограниченной сверху, если су­ ществует такое число k, что для любого значения аргумента х, f ( x ) < k . Примерами таких функций могут служить функции вида у = 4 — х- (черт. 24) и другие. Примеры для уравнений 33. Установить ограниченность следующих функций: , х2 _ | х __ 1 а) У = —-- 7 ; б) у = ---- ; в) у= 2 — 2Х\ г) у = log2sin х ; х2+ 1 х 1 д) У = logo, 5 cos А'; е) ^ = lg | JC I ; ж) у = |tg jc |; з) т (t) = (г>0—■ gO2— величина кинетической энергии тела, брошенного вертикально вверх; и) и (0 = mgt ( v 0— - величина потенциальной энергии тела, брошен­ ного вертикально вверх. § 9. ПЕРИОДИЧНОСТЬ ФУНКЦИЙ Периодические функции имеют большое значение в изучении колебательных процессов и особенно в электро- и радиотехнике. Определение. Функция y = f ( x ) называется периодической, если- существует положительное число / такое, что для любого значения аргумента л; имеет место равенство f (х) = f (х + I), т. е. от прибавления числа / к любому значению аргумента х значение функции не изменится. Из этого определения следует, что f (х) = f ( x + kl), где &—лю­ бое целое число. Число kl — называется периодом функции, а при k == 1 число /0 называется минимальным периодом функции. Примером периодических функций являются все тригонометри­ ческие функции. Функция tgx и ctgx имеют минимальным перио­ дом те, а все остальные 2 те. П р и м е р 1. Показать, что функция _y= sin2.x: периодическая, и установить ее период. Требуется показать, что существует такое число /, для кото­ рого имеет место равенство sin 2х = sin 2 (х + I). В силу периодичности синуса: sin 2х = sin (2х + 2 kn). Рассмотрим равенство sin (2х + 2kn) = sin 2 (х + /), которое имеет место при l — kn , поэтому sin 2х = sin 2 (х + /) и функция У = sin 2х — периодическая, а ее минимальный период /0=те при К=\). П р и м е р 2. Уравнением простого гармонического колебания является у = Asinwx. Показать, что эта функция периодическая, и найти ее период Т. 76