УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

у (при х — >оо и у —*оо), а при х, стремящемся к 0 , у стремится к — оо; если же а < 1 , то при х —► со; у —>— оо, а при х — > 0 у —* оо. По определению логарифма данную функцию можно представить так: 2У= — , откуда х = — = ( — Y • Следовательно, V= log 1 х и х 2У \ 2 / — У = log 2 — , т. е. log 1 х = log 2 — . X ~2 X Таким образом данная функция является неограниченной, причем при х —* о о значения у стремятся к — оо, а при х — * 0 значения у стремятся к оо. 3. Функция y = f ( x ) называется ограниченной снизу, если суще­ ствует такое число L, что для любого значения х имеет место /(х ) > L. Примерами таких функций могут служить показательные функ­ ции (черт. 13 и 19), функция у = |х|, функция у = х 2 + -L (черт. 29) и другие. В качестве примера функции, ограниченной снизу, можно рас­ смотреть функцию вида: _i_ у = 2 х , где х =т^= 0 . у, как показательная функция, для любого х — положительна. Сле­ довательно, у > 0 и, значит, ограничена снизу. Эта функция представляет интерес для исследования ее моно­ тонности. Для этого рассмотрим ее изменение в промежутках: ( — со; 0 ) и ( 0 ; оо). Пусть х, < х 2 < 0. - - 1 1 Тогда у 2 — у ,'= 2 х'- — 2Х> < 0 , т. к. из х, < х, следует — > — , xt х2 j_ откуда 2х' > 2х’1 и, следовательно, на (— оо; 0 ) данная функция является убывающей. Если значения х приближаются к 0, оставаясь отрицательными, то значения данной функции стремятся к 0 , т. к. — —»— оо, а ■ 0 . Когда значения х стремятся к — оо, то у — стремится к 1 (оставаясь меньше 1 ), 1 А т. к.— —> 0 , х \_ тельно, 2 х - следова- > 1 . Пусть 0 < х, < х2. Тогда Уг—У\= .2 * — 2 х- < 0 , т. из Xj < х 2 к. следует 1 ^ 1 — >■— и, значит, Ху X; " j_ j_ 2х’ < 2 х‘ , т. е. на ( 0 ; оо) данная функция убывает. Чертеж 31. 75