УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Примером ограничений функции может служить тригонометри­ ческая функция у = sin х (или у = cos jc), значения которой заключе­ ны в сегменте [— 1 ; 1 ]. Другим примером ограниченной функции может служить функ- 3 1 х — 1 1 . 1 . , з ция У ^ ' 2 х — 1 — ’ где которая для всех х > 1 , равна— , а 3 для всех л: < 1 принимает значение — — . В качестве'более интересного примера ограниченной функции рассмотрим функцию y = 4slnjr. Эта сложная функция (функция от функции), которую можно представить так: у = 4", где u = sinx. Функция у , как показательная функция с положительным осно­ ванием принимает только положительные значения для любых дей­ ствительных значений аргумента, в данном случае и. Функция « — ограниченная функция; она может принимать зна­ чения только от — 1 до 1 . Таким образом, функция у принимает минимальное значение при и.— — 1 , которое равно — , и максимальное значение при и = 1 ко- 4 торое равно 4. Следовательно, значения данной функции заключены в — ; 4J. Из свойств показательной функции с основанием боль­ шем 1 (в данном случае основанием служит 4) следует, что боль­ шему значению аргумента соответствует большее значение функ­ ции. Отсюда следует, что на промежутках возрастания и, т. е. на сегментах возрастания sinx, будет возрастающей и данная функция* а там, где sin х убывает, убывает и данная функция (черт. 30). 2. Определение неограниченной функции Функция у = f ( x ) называется неограниченной на (а; Ь) или в области ее определения, если для любого, как угодно большого, положительного числа М, существует 1 такое значение аргумента х, для которого |/(х).|>УИ. Примерами неограниченных функций могут служить функции: _y= tg.x; y = ctgx; у = х3; у = lg х и другие. Рассмотрим функцию V= log2— . * , X Известно, что функция _y= loga.x: является неограниченной, при- f чем, если а > 1 , то при возрастании х неограниченно возрастает и 74