УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

В силу ТОГО, ЧТО X в данной функции имеет четную степень, значения функции будут одинаковыми для ± х, т. е. график данной функций симметричен относительно оси .у-ов, а отсюда достаточ­ но исследовать поведение функции лишь для х > 0 . Пусть 0 < х, < х2 < 1. Найдем у 2—У,- Уг~У\*=—[- + х\-х\- 1 \ I х\ - х\ > 0 ; т. к. х\ • х\ < 1 , т. к. О < х, < х 2 < 1 , тогда х2 Xj 0 . 1 > 1 и 1 x,.xz < 0. Следовательно, у 2— V\ < 0 или_у 2 <.у, т. е. в промежутке (О, 1J функция у —убывает, причем от оо до 2 . Пусть 1 < Хх < х 2, тогда аналогично предыдущему легко пока­ зать, что у2—у х > 0 и_у 2 > у и т. е. в промежутке [ 1 ; о о ) данная функ­ ция возрастает, причем от 2 до оо. Итак, на (— оо; — 1 ] даннаяфункция убывает от оо до 2, на [— 1 ; 0 ) „ п возрастает от 2 до оо, на ( 0 ; 1 ] „ „ убывает от оо до 2 и на [ 1 ; оо) „ „ возрастает от 2 до оо, причем ось .у-ов служит асимптотой и осью симметрии данной функции, а в точках х = — 1 и х = 1 функция достигает минималь­ ных значений равных 2 (черт. 29). Примеры для упражнений 32. Установить интервалы монотонности и определить, будет ли функция на них возрастать или убывать, а также указать минимальные или максимальные значе­ ния функции для следующих функций: 2х2 -f- — 1 а) у = х2+ х + 1; б) у = 1 + х — х2; в) у х2+х + [ г) у — X д) W E2-R х ■ (R + r)2 где W мощность электрического тока, полагая Е = \2v, г 32, a R — переменным. § 8. ОГРАНИЧЕННОСТЬ И НЕОГРАНИЧЕННОСТЬ ФУНКЦИЙ 1. Определение ограниченной функции Функция у = / (х) называется ограниченной в области ее опре­ деления или на {а\ Ь), если существует такое положительное число М, что абсолютные значения функции не превосходят этого числа, т. е. |/(х) |< М. 73