УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

П р и м е р 7. у = х2 — Ах + 3. Представим эту функцию, выделив полный квадрат, содержащий jc: у = ( х - 2 )2- 1 . На (— оо; 2) выражение (х — 2 ) 2 убывает, значит, и у — убывает. На (2 оо) выражение (х — 2 ) 2 возрастает, значит и у — возра­ стает. При х = 2 у — достигает минимума, который равен (— 1). П р и м е р 8 . у = 6х — Зх 2 + 2 = 5 — 3 ( х— I)2. На промежутке (— оо; 1 ) выражение ( х— I ) 2 убывает; следова­ тельно, данная функция у — возрастает (т. к. уменьшаемое постоян­ но, а вычитаемое убывает). На (1; оо) выражение ( jc — I ) 2 возрастает; значит, на этом про­ межутке .у — убывает. При х = 1 данная функция достигает максимума, который равен 5. хг _j , П р и м е р 9. у = ---- . Представим эту функцию, выделив це­ лую часть. х 2+ 2 у = 1 - х2 + 2 На (— оо; 0) jc 2 + 2 — убывает; —— - — возра­ стает и у — убывает. На (0; оо) х2 + 2— 3 * возрастает, ^— — убы­ вает и у — возрастает. При х = 0 функция достигает минимума, рав- (-т)- При х, стремящемся к + оо, значения функ­ ции приближается к 1 , оставаясь, однако, меньше 1 (черт. 28). П р и м е р 10. y = x2jt--^j, где j c ^ O (пример более сложной функции). Представим эту функцию, выделив полный квадрат *: ного + 2 . Из этого выражения видно, что у > 2 . Минимального значения эта функция достигает, когда х - - — = 0 , т. е. при х = ± 1 , для кото­ рых у = 2 . Исследованию подлежат следующие промежутки области опре­ деления данной функции: ( - с ю ; - I ] ; [ - 1 ; 0 ); ( 0 ; 1 ]; [1 ; сю ). 1 ( 1 V п * Функцию у = х2+ — можно представить и так: у = I х Н--- — 2, х2 \ х J / 1 у усложнит исследование, т. к. потребуется доказать, что I х -)--- 1 72 > 4 .