УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

П р и м е ч а н и е . На последних примерах показана особенность характера изменения функций при значениях х, стремящихся к оо и — оо, а также при зна­ чениях х, приближающихся к 3 (или 1) как справа, так и слева. При этом указы­ вается на асимптотичность этого изменения функций, для которых ось jc -o b и пря­ мая Х = 3 (или ^ = 1 ) служат асимптотами, т. е. такими прямыми, к которым неограниченно приближается график данной функции, но никогда их не достигает. Затем следует показать прием построения „принципиального* графика этих функций, для чего подчеркнуть необходимость следую­ щих моментов: а) установление области определения функции; б) установление возрастания или убывания функции на проме­ жутках определения функции; в) наличие асимптот; г) построение ряда точек функции, уточняющих вычерчивание графика. 2 л; 4 -3 П р и м е р 5. у = х 2 ~’ где ^ ~ 2. Представим эту функцию иначе, выделив целую часть, а именно: 2х + 4 — 1 х + 2 = 2 - 1 х +2 Теперь легко видеть, что переменной величиной является вы­ читаемое, которое представляет собой убывающую функцию на (— оо; — 2) и (— 2; оо). Следовательно, данная функция является возрастающей на промежутках области определения, т. е. на (— оо; — 2 ) и (— 2 ; оо). При х , стремящемся к оо, значения у приближаются к 2 , но у < 2 . Когда х стремится к — оо, значения у также приближаются к 2, но у > 2. Значит, прямая у = 2 — асимтота. При х, стре­ мящемся к — 2 справа, т. е. ког­ да х > — 2 значения у неогра­ ниченно убывают: у —* — оо. Ког­ да х стремится к — 2 слева, т. е. когда х < — 2 , значения у нео­ граниченно возрастают: у — »оо. Значит, прямая Х = — 2 вторая асимптота. Построим точки этой функции для х = — 5; — 4; — 3; — 2; 0 ; 1 и 2 . После этого вычерчиваем график данной функции (черт. 27). Примеры для упражнений 31. Исследовать на возрастание и убывание и построить график функции: ^ p a) y = ----- ; 6) y = ------- •; в) y = --- — ; r ) / = ——— , где / — сила тока, 3 — jc x x — l r + R 7 + 5 1 полагая E = 6v, r = 12 и R — переменной; д) s = у | . где s — путь, a t — время 1 ; 1 +1 движения. П p и м е р 6 . у = х2 . На (— оо; 0), для х 2 > х 15 х; < х\ , значит у — убывает. На (0; оо),для х 2 > х,; х\ > х\ , Значит у возрастает. При х — 0 функция достигает минимума: у = 0. 71