УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Определение возрастающей функции. Функция у = / (л:) назы­ вается возрастающей на ( а ; Ь), если для любых двух значений аргу­ мента Х г и Х 2 взятых из (а; Ь), большому значению аргумента соот­ ветствует большее значение функции. Следовательно, функция называется возрастающей в том случае, если из неравенства х2 > х х следует неравенство f ( x 2) > / ( * . ) , т. е. когда приращения аргумента и функции будут одного знака (см. черт. 11, где Дл: > 0 и Ду > 0). Таким образом, линейная функция у = Кх + b при К > 0 будет функцией возрастающей во всей области ее определения. Определение убывающей функции. Функция у = f(x ) называется убывающей на (а; Ь), если для любых двух значений аргумента Х х и Х2, взятых из (а; Ь), большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, функция называется убывающей в том случае, если из неравенства х2> х и следует неравенство f (x 2) < / ( * , ) , т. е. когда приращения аргумента и функции будут различных знаков (см. черт. 1 2 , где Дх > 0 , но Ду < 0 ). Таким образом, линейная функция у — Кх -f b при К < 0 будет функцией убывающей во всей области ее определения. Монотонность функций Определение монотонной * функции. Функции только возрастаю­ щие или только убывающие на (а; Ь), называются монотонными на (а; Ь). Среди функций встречаются такие, которые монотонны на всейоб­ ласти их определения; таковы функции:>> = Кх + Ь (черт. 11 и 12 ),у = а* (черт. 13 и 19), у = logax (черт. 14 и 20) и т. д. Эти функции обычно называют монотонными без указания промежутка монотонности. Однако среди функций встречаются и такие, которые монотонны лишь на отдельных участках области их определения, например: y==s i nx (черт. 1.7 и 22). Эти функции не называют­ ся монотонными; для них монотонность является местным свойством. При исследовании функций обычно устанавливаются интервалы их монотон­ ности. Наиболее ярким приме­ ром немонотонных функций являются тригонометриче­ ские функции. Кроме три­ гонометрических можно указать и более простые примеры функций, монотон- - 2 ных лишь на отдельных участках области их опре­ деления. П р и м е р . Дана функ­ ция: у — 4 — х2. Для произ- ---------- Чертеж 24. * Монотонный — однообразный характер изменения (от греческого monos — единый). 69