УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

б) 1°. <р(х) = 2л ;2 — Зх — 5. Найти х, для которого <?(х) прини­ мает значение 0, — 3, — 6 , 4. 2°. Если <р(х) = sin х + cos х, то найти х, при котором <р(х)=1 в) Сравнить значения функции. / ( х ) = Зх + 2, что больше: / (х ) или / ( х + 1 ); / ( х — 1 ), или / ( 1 — jc)? г) Что больше * /(•*»). или для функций f(x ) = kx-\-b\ / ( х ) = х 2 + 1; /"(jc) = 4 — j:2. д) Для функции y(x) = kx-\-b показать, что „ ч Ф (х , + Х 2) + <р (-«1 — *з ) 2 , где jc , и х 2 — частные значения аргумента. Для функции F(x) = 2x показать, что /г(х 1 )-/г(х2) = F(xy + х2); для функции h(x) = \gx показать, что /г(х,) + /г(х2) = / / (х,-х2); для функции /'(x) = sinx показать, что / (2х) = 2 •/ (х) • V\—\f (x)J2, Понятие о функции от функции Сложную функциональную зависимость можно расчленить на ряд ступеней этой зависимости. Например: у — У"х 2 -f 1 можно пред­ ставить, как у = У п, где я = х 2 + 1 ; у — lg * + 1 ■ можно запи- х -f- 1 3/-------- сать, как y = \gn, где п = ---- ; у — у lg s inx можно предста- х вить, как у — у п, где п = lg v и v = sin х. Сложные функции называются функциями от функций. Рассмотрим пример на взятые функции от функции. Пусть / ( х ) = х 2 + х + 1 , а ®(х) = —— (-2. х Найти /[<р(х)] и <р[/(х)], т. е. функцию от функции. /[? (х)] = [®(х ) ] 2 + ®(х) + 1 = ( —— h ? Y + — + 2 4 - 1 =-^- + -^- + 7. \ X / X X X <р[/(jc)] = — 1— + 2 = - — - ------+ 2 = 2x2 + 2* + 3- . / М Х 2 + Х + 1 Х 2 + Х + 1 Примеры для упражнений 23. Для / (х) = х2 + —y показать, что f(x ) — f ( ~ x ) и / (х ) = / ^ — . 24. Для / (х) = 2х2— Зх — 5 показать, что, если хх= — 2 и х2 — 3,5 то / (х ,) = / (х2). 25. а) Если / (х) = 0,5*2-1, то найти х, при котором / (х ) = г * б) Если / (х ) = 3 sin х + cos х, найти х, при котором / = 2 sin — . 26. Что больше: / (х ) или / (х + 1); / (х ), или / (2х), если / (х ) = х2. 27. Для функции f(x ) = ax, где О и а # 1 показать, что / (х ,) ,, ' = /(•* 1 — х2) и / (х ) • / (— х) = 1. / (х 2) Для функции / (x ) = lgx показать, что/(х2) = 2 -/ (х ) и / ^ — ^ = / (x i)— / (х 3). 28. Показать, что для / (x ) = sinx имеет место: /(3х) = 3 - / ( х )— 4 [/ (х )]3. Б-142,-5 65