УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Числовое множество принято называть конечным, если количе­ ство его элементов может быть выражено натуральным числом или нулем. Множество наз. бесконечным, если оно не конечно, т. е. число его элементов больше любого (как угодно большого) натурального числа. Множество наз. ограниченным справа (сверху), если его эле­ менты по величине не превосходят некоторого числа или если это множество имеет наибольший элемент. Множество наз. ограниченным слева (снизу), если его элементы по величине больше некоторого числа или если это множество имеет наименьший элемент. Множество, ограниченное справа и слева, наз. ограниченным. Если множество не ограничено ни справа, ни слева, то оно называ­ ется неограниченным. Всякое конечное множество — ограниченное множество. Среди бесконечных множеств могут быть и ограниченные, и неограничен­ ные, и ограниченные односторонне. Множество наз. дискретным, если оно состоит из изолирован­ ных элементов, т. е. таких, для каждого из которых можно указать такой участок или промежуток, содержащий этот элемент, который не содержит ни одного другого элемента этого множества. Множество наз. плотным, если между любыми двумя элемен­ тами множества содержится бесконечно много элементов этого мно­ жества. П р и м е ч а н и е . Свойство плотности можно показать для множества рацио­ нальных, иррациональных и действительных чисел. В самом деле для любых а и Ь а “(-b л Ъ а, ^ Ь (пусть a < ib ) существует —-— , которое —-— <^Ь. Между а и —-— суще- 1 г а +■Ь\ а + Ь ствует — I а+ — I , которое больше а и меньше —-— и т. д. Множество действительных чисел, в отличие от множества ра­ циональных чисел, обладает свойством непрерывности (сплошности), которое можно проиллюстрировать возможностью установления взаимно однозначного соответствия между действительными числа­ ми и точками прямой линии. Для рациональных чисел такое соот­ ветствие невозможно, ибо на прямой есть точки, которым нет соот­ ветствующих рациональных чисел. III. Часто встречающиеся числовые промежутки, их определения и обозначения. а) И н т е р в а л . Интервалом называется множество действитель­ ных чисел х, удовлетворяющих неравенству а < .х < .Ь . Знак интервала: (а; Ь) — границы интервала в круглых скобках. П р и м е р . Главными значениями arctgx принято считать б) С е г ме н т . Сегментом называется множество действитель­ ных чисел х, удовлетворяющих неравенству а < х < Ь . Знак сегмента [а; 6 ]— границы сегмента в квадратных скобках. 57 О а -о— в X , Чертеж 1