УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Л. Эйлер в трехтомном труде по математическому анализу пре­ дела не определяет, не вводит его и им не пользуется, но в пре­ дисловии к „Дифференциальному исчислению1, написанному в 1748 году, указывает на смысл понятия предела и его значение в ана­ лизе. Он говорит: „Затем нужно мысленно представить, что эти приращения становятся все меньшими и меньшими, и тогда мы най­ дем, что их отношение все более и более приближается к некото­ рому определенному пределу ... этот предел, который составляет как бы последнее отношение упомянутых приращений, и является истинным объектом дифференциального исчисления111. Так появляется термин „предел1. С течением времени метод пределов все настойчивее и реши­ тельнее проникает в математику. Современник Эйлера, французский математик Даламбер (1717— 1783 гг.) вводит свое определение предела: „Говорят, что одна ве­ личина является пределом другой величины, если эта вторая мо­ жет стать к первой ближе, чем на любую данную величину, как бы она мала ни была1* 2. Вместе с определением Даламбер дает первые начала теории пределов, которые с современной точки зрения имеют некоторые недостатки. Так, по мнению Даламбера, предел не обязательно по­ стоянная величина; переменная величина приближается к пределу только с одной стороны и не может принимать значений предела. К концу XVIII века с критикой новых математических течений выступил талантливый русский математик академик Семен Емелья­ нович Гурьев (1764—1813 гг.). В работе „Опыт об усовершении эле­ ментов геометрии", вышедшей в 1798 году, развивая далее понятие предела, он дает новую формулировку его определения: „Если ка­ кая-нибудь величина от какого ни есть известного без конца про­ должаться могущего действия всегда возрастает или убывает и от того к другой непременной величине приближается, так что может разниться с нею меньше, нежели всякая по произволению данная или взятая того же роду величина, и со всем тем ее никогда не до­ стигает; то сия другая непременная величина есть то, что пределом первой мы называем"3. Это опредёление значительно ближе стоит к современному, в нем пределом называется „непременная", т. е. постоянная вели­ чина. На основе этого определения академик Гурьев вносит неко­ торые новые положения в появляющиеся элементы теории преде­ лов. В первой четверти XIX йека завершается обобщение огромного опыта применения понятия предела в анализе. Крупнейший специа­ лист в области математического анализа французский математик Огюстен Люи Коши (1789—1857 гг.) в 1821 году осуществил „пере­ стройку всего анализа на основе глубокого изучения операции „пре­ дельного перехода", а в работе „Алгебраический анализ" обстоя­ тельно изложил теорию пределов"4. Начиная с Коши, понятие предела стало фундаментальным поня­ тием математического анализа и вместе с приложениями анализа по­ лучило широкое распространение во многих отраслях физико-матема- тических наук. 1 Л. Эйлер . Дифференциальное исчисление. Изд. 1949, стр. 41. 2 Комментарии Д. Д. М о р д у х а й-Б о л т о в с к о г о к XII книге „Начал" Ев­ клида, изд. 1950, стр. 237. 3 Комментарии Д. Д. М о рд у х а й-Б о л т о в с к о г о к XII книге „Начал" Ев­ клида, изд. 1950, стр. 238. 4 А. И. М а р к у ш е в и ч . Элементы теории аналитических функций, изд. 1944, стр. 25. ' 54