УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Атомистическая теория философа-материалиста древности Демо­ крита (460—370 гг.) оказала плодотворное влияние на развитие ма­ тематических доказательств в вопросах, связанных с предельным переходом (длина окружности, площадь круга, поверхности и объе­ мы тел вращения, объем пирамиды и другие). По теории Демокрита линии представлялись, состоящими из то­ чек-атомов (неделимых), плоские фигуры — из отрезков линий, объе­ мы— из пластинок. Суммированием этих „неделимых 11 были получены многие результаты в математике и механике. Уже Демокрит нашел объем конуса, а Архимед, развивая и применяя метод Демокрита, создал „механический метод" („метод рычагов или равновесия"), с помощью которого он находит поверхности и объем тел, далеко выходящих за пределы элементарной математики (сегменты эллипсои­ дов и параболоидов, центры тяжести этих тел и поверхностей и др.). Дальнейшее развитие „метод неделимых", как он стал называться в XVII веке, получил свое оригинальное развитие в работах И. Кеп­ лера (1571—1630 гг.) и Б. Кавальери (1598—1647 гг.). В конце XVII века на основе этого метода возникли первые элементы интеграль­ ного исчисления. Другим направлением математических доказательств, в которых в неявном виде также содержится предельный переход, был так на­ зываемый „метод исчерпывания*. Этот метод был самым распространенным и официально приз­ нанным в период древнегреческой математики, в то время как „ме­ тод неделимых", в связи с его материалистическим духом, не счи­ тался достаточно строгим и не признавался. Открытие „метода исчерпывания" принадлежит Евдоксу (408— 355 гг.), дальнейшее развитие он получает у Евклида (3-й век до н. э.), особенно высокого совершенства достигает у Архимеда. И „метод неделимых", и „метод исчерпывания" в истории мате­ матики сыграли очень важную роль как для изучения величин и процессов, связанных с бесконечными и предельными переходами, так и для создания новых отраслей математики и, главным образом, математического анализа. Оба эти метода древних в своей основе имеют понятие предела. Следовательно, концепция предела вошла в математику около 2500 лет тому назад, хотя с момента появления понятия предела прош­ ло только около 300 лет. Со времени Демокрита и Евдокса вплоть до XVII века идея предельного перехрда лишь назревала и только введение Декартом переменной величйны и зарождение учения о функции послужило решительным толчком к введению понятия предела и метода пре­ делов, который благодаря своей общности, универсальности и эф­ фективности постепенно вытесняет из математики методы древних. Первое в истории математики определение понятия предела при­ надлежит учителю Ньютона английскому математику Джону Вал­ лису (1616—1703 гг.). В работе „Арифметика бесконечных величин", появившейся в 1655 году, он обратил внимание на важность этого понятия и хотя термина „предел" не употреблял, но говорил, что „это величина постоянная, к которой переменная приближается так, что разность между ними может быть сделана менее любой данной величины"1. Однако в целом верное и близкое к современному определение предела не сразу вошло в математический обиход. Так, например, Ньютон пользуется термином „последнее отношение", вместо „пре­ дел отношения". 1 В. П. Ш е р е м е т е в с к ий . Очерки по истории математики. 1940, стр. 121. 53