УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Этим определением начинается теория функций в подавляющем большинстве современных курсов, изучающих функции. Новое представление о функции, являющееся следующим эта­ пом в развитии этого понятия, связано с возникшей в конце XIX ве­ ка теорией множеств. Основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845—1918 гг.) в 1914 году следующим образом описывал понятие множества: „Под многообразием или множеством я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т. е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона". Значения переменных величин или элементы объектов иной при­ роды можно рассматривать, как некоторые множества. Между эле­ ментами различных таких множеств возможна взаимозависимость или некоторое соответствие, которое и является основой для даль­ нейшего расширения понятия функции. Функциональная зависимость между величинами перерастает в функциональное соответствие меж­ ду множествами. В основу понятия функции в широком смысле теперь положены такие, простейшие (неопределяемые) понятия, как элемент, множе­ ство и соответствие. Итак, функциональным соответствием называется такое соответствие между множествами М и N, когда каждому элементу л:, взятому из множества М, поставлен в соот­ ветствие определенный элемент у, содержащийся во мно­ жестве N. (2) Каждый элемент у принято называть значением функции, а мно­ жество tV—множеством значений функции (область изменения функ­ ции). Каждый элемент л принято называть значением аргумента, а множество М — областью определения функции. Функциональное соответствие, определенное таким образом, принято записывать в виде равенства: У = / ( * )■ Определение ( 2 ), как более общее, содержит в себе определе­ ние ( 1 ). Для учащихся средней школы мы считаем наиболее подходящим по доступности понимания идеи функциональной зависимости, опре­ деление функции, как величины, т. е. определение ( 1 ). Определение (1) в открытой форме выражает зависимость меж­ ду величинами, движение, изменение и вообще развитие изучаемых переменных, что имеет большое воспитательное значение для фор­ мирования диалектико-материалистического мировоззрения. Понятие функции получило дальнейшее развитие в теории „обоб­ щенных функций", имеющей очень важное прикладное значение в современной физике. НЕКОТОРЫЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О ВОЗНИКНОВЕНИИ И РАЗВИТИИ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА Существенное значение в теории функций и фундаментальное значение для современной математической науки имеет понятие предела переменной величины (функции). Идея предельного перехода в математических доказательствах встречается уже в работах математиков древней Греции, а наиболее ярко находит свое применение в трудах Архимеда. 52