УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Однако во всех своих сочинениях Эйлер не вводит в действие это общее понятие функции, и рассматривает лишь те зависимости в качестве функции, которые имеют аналитическое выражение, а это послужило тому, что после Эйлера получило широкое распро­ странение его первое определение функции, как аналитического вы­ ражения. Дальнейшее бурное развитие естествознания, техники и наук, опирающихся на математику, требовало от математической науки исследования и таких зависимостей между переменными физически­ ми величинами, выразить которые формулой было затруднительно или вовсе невозможно. Вновь открываемые функциональные зависимости часто не удов­ летворяли эйлеровскому определению функции, поэтому уже в на­ чале XIX века возникла потребность в расширении Понятия функции. Новое, более общее определение функции первым дает выда­ ющийся русский математик и великий геометр — Николай Иванович Лобачевский (1792—1856 гг.). В 1834 году в работе „Об исчезании тригонометрических строк" он писал: „Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть чис­ ло, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изме­ няется. Значение функции может быть дано или аналитическим вы­ ражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или наконец зависимость может существовать и оставаться неизвестной... Итак, под названием функ­ ции должно вообще разуметь число, которого постепенные измене­ ния даны и зависят от изменений другого, хотя бы совершенно не­ известным образом“ \ Это определение функции остается безупречным и до настоя­ щего времени, хотя это понятие продолжает непрерывно совершен­ ствоваться. Почти одновременно с Побачевским к новому определению функции приходит выдающийся немецкий математик Лежен Дирихле (1805—1859), который в 1837 году предложил следующую формули­ ровку понятия функции: „у есть функция переменной л: на отрезке а < л < 6 , если всякому значению х на этом отрезке с о о т в е т ­ с т в у е т совершенно определенное значение у , причем безразлич­ но, каким способом установлено это соответствие... При этом вовсе нет необходимости, чтобы число у на всем этом отрезке зависело от х по одному и тому же закону, и даже не обязательно представлять себе зависимость, выраженную с по­ мощью математических операций"2. Некоторой ограниченностью этого определения является то, что в нем функция рассматривается на отрезке или в промежутке. Кроме общности закона соответствия положительным моментом определения по Дирихле является „выдвижение на первый план идеи соответствия", что лежит в основе современного понимания функции. Таким образом, понятие функции, возникшее при изучении пе­ ременных величин, встречающихся в окружающей действительности, в результате почти 250-летней эволюции, имеет в настоящее время следующее определение: Переменная величина у называется функцией переменной величины х. если каждому допустимому значению вели­ чины х соответствует определенное значение величины у. ( 1 ) 1 Н. И. Л о б а ч е в с к ий . Соч., т. 5, стр. 43—44. 2 Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц . Основы математического анализа, т. I, стр. 49. М., 1956. 4* 51