УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

само понятие площади поверхности не определено. (Подчеркнуто нами — П. Б.). Кроме указанного А. Н. Колмогоровым методологического по­ рока, ныне распространенное изложение теории измериния геометри­ ческих величин содержит и ряд других существенных недостатков. Во-первых, при изложении теории измерения в духе школьного учебника геометрии А. П. Киселева не создается сколько-нибудь общих понятий площади плоской фигуры, площади кривой поверх­ ности и объема тела. Более того, частные (произвольные) опреде­ ления площадей кривых поверхностей цилиндра, конуса и шара даже препятствуют формированию более общего понятия площади кривой поверхности. В самом деле, для цилиндра и конуса аппроксимирую­ щими поверхностями является многогранные (призматическая и пи­ рамидальная), а для шара — не многогранная поверхность, а какая-то цилиндро-коническая, получаемая от вращения вписанной ломаной линии в окружность. Такая разнородность аппроксимирующих поверхностей не позволяет.прийти к сколько-нибудь общему поня­ тию площади кривой поверхности, имеющемуся в математике. Во-вторых, имеет место логическая непоследовательность в из­ ложении материала. Так, например, при введении особого опреде­ ления понятия площади круга не дозволено опираться на очевидное (интуитивно ясное) положение о том, что площадь круга более площади вписанного многоугольника, но менее площади описанного многоугольника*. Тогда как на том же или следующем уроке при изучении сектора и сегмента площади этих новых фигур уже не определяются (как следовало бы ожидать), а сразу вычисляются на основании тех самых интуитивно очевидных положений, которые при определении площади круга старательно изгонялись и отвер­ гались^!) Такая непоследовательность в изложении теории измерения, очевидно, неминуема при той системе произвольных и частных опре­ делений, которая принята в учебнике. В противном случае при бес­ конечном разнообразии плоских фигур, встречаемых в различных задачах, придем к необходимости давать бесконечное множество произвольных частных определений их площадей, что невозможно. В-третьих, принятое в школе изложение теории измерения гео­ метрических величин не позволяет понять, почему, например, за пло­ щади поверхностей тел вращения принимаются пределы таких именно величин, а не каких-либо иных, почему для цилиндра и конуса рас­ сматриваются вписанные многогранники, а для шара — иные тела. Они также остаются в неведении о тех критериях**, которыми следует руководствоваться при выборе аппроксимирующих поверх­ ностей и поэтому, не будучи знакомы с цилиндром Шварца***, даже и не подозревают, что, идя по несколько иному пути, интуитивно равноценному тому, что указан в учебнике, могут прийти к форму­ лам, не соответствующим реальной действительности. Таким обра­ зом, учащиеся обречены на слепое следование учебнику. Наконец, совершенно , недостаточно используются идеи матема­ тического анализа (предельный переход и производная), предусмот­ ренные новой программой. При этом учащиеся остаются в полном неведении, например, о том, что площади кривых поверхностей тел вращения являются производными от их объемов (см. стр. 47). * Если бы это очевидное положение было принято, то определение перешло бы в разряд теорем (см. стр. 53). ** А. Л е б е г . Об измерении величин, п. 73. *** Я. С. Д у б н о в . Ошибки в геометрических доказательствах (из серии („Популярные лекции по математике"). Выпуск II. 5