УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

так как .x>csca = /?, диуса /?). a /?sec a = L (/. — длина образующей конуса ра- 6. ус. кон. = Иш Д.г=Дд/-*-0 — л csc2я sec а { [(х + Ьх)3 — (_у + Д_у)3] ■ О [ж3-у]} Ьх — теcsc2a sec а (х2—_у2) = тел:2esc2а sec а — тсу2esc2а sec а = = те/?2sec а — тег2sec а = те(/? + л) (/? — г) sec я = те(/? + г) /, т. к. (/? — г) sec а = /, (см. черт. 32). З а м е ч а н и я 1. Полезно обратить внимание учащихся на фор­ мулу Se. к. = те/?2sec а, так как она выражает замечательную зависи­ мость между площадью боковой поверхности конуса (проектируемой поверхности), площадью основания (проекции) и углом наклона образующей к плоскости основания. 2. Боковую поверхность усеченного конуса можно вычислить про­ ще как разность боковых поверхностей полных конусов радиусов /?иг: Sб. ус. кон. = те/?2sec а — тег2sec а == те(/? + г) (/? — г) sec а = те(/? + г) I. 3. Интересно отметить, что учащиеся, зачастую самостоятельно выводя формулы поверхностей тел вращения приводили порой весьма оригинальные выводы. Так, например, предлагался следующий инте­ ресный вывод формулы боковой поверхности конуса (см. чертеж 34). 5 б. к. == Иш - Л-о lim Л-о я#2Л, . nRlh = lim Л л-о Л = т е /? /. J h В самом деле, из чертежа вид­ но, что объем слоя (vCJI. ) равен объему цилиндра радиуса /? и вы­ соты А,, то есть г>сл. = те/?2Л,. Да­ лее из подобия треугольников АОВ Н I и CBD находим, что — =■—-, Л R hi откуда Л, = — и, R = те/?/ и Чертеж 34. следовательно, к ^сл. = те/?2Л, = те/?й/, а П lim — = те/?/, л-о Л 4. Если правила дифференци­ рования не будут известны уча­ щимся к моменту вывода формул площадей поверхностей тел вра­ щения, то их следует вывести пу­ тем непосредственного вычисления предела, как это нами сделано, например, для усеченного конуса. В этом случае в целях рационали­ зации вычислений рекомендуется предварительно вычислить следующие пределы: 1. lim (* + АХ)2 - j f l _ = 2х и 2 11т (х_+ &х)3_ х3 = 3jc 2 , Д *_0 Ь х Д.г—О 1±Х которые встретятся при выводе формул поверхностей тел вращения. Однако после изучения правил дифференцирования следует пока­ зать их применение к выводу формул поверхностей тел вращения и установить связь между формулами поверхностей и формулами объе­ мов тел вращения, а именно, что первые есть производные от вторых.