УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

При таком подходе к определению площади кривой поверхности ясна его практическая целесообразность для учащихся. В этом слу­ чае определение является естественным, логическим уточнением интуитивного представления о площади кривой поверхности, полу­ ченного учащимися в 8-летней школе и жизненной практике. Таким образом, мы имеем здесь пример правильного (материа­ листического) подхода к формированию математического понятия о площади кривой поворхности, полученного путем абстракции и обобщения вышеприведенных конкретных представлений (см. пп. а и б). Мы сознательно остановились на данной ступени общности и абстрактности этого определения, не доводя его до определения, принятого в науке* лишь по методическим соображениям. Во-первых, в таком виде оно несколько проще научного и в то же время не противоречит ему, но может быть доразвито до него после придания большей логической определенности и устранения имеющейся доли интуиции. Во-вторых, в таком виде оно приводит к более простым рассуж­ дениям и чертежам при выводе формулы боковой поверхности пол­ ного и усеченного конуса. Однако, если учитель найдет возможным и нужным дать опре­ деление, принятое в науке, то он это может сделать, сформулиро­ вав приведенное определение Лебега, разъяснив его смысл. Далее разъясняются учащимся 4 свойства площадей кривых поверхностей, аналогичные 4-м свойствам площадей плоских фигур. 2. Формулы для вычисления площадей поверхностей тел вращения Площадь кривой поверхности тела вращения (цилиндра, конуса, усеченного конуса, шара и шарового сектора), согласно определе­ нию площади кривой поверхности, равна пределу отношения объема покрывающего эту поверхность слоя (обвертки) к его толщине при стремлении последней к нулю, где толщина слоя (обвертки) есть приращение радиуса (А/?) в случае цилиндра, шара и шарового сек­ тора, или приращение нормали (Дх)** в случае конуса (см. чертежи 31, 32, 33), а объем слоя (обертки) есть приращение объема соот­ ветствующего тела (цилиндра, конуса, шара и т. д.). Следовательно, площади кривых поверхностей тел вращения есть не что иное, как производные от объемов соответствующих тел, взятых по радиусу или нормали. а) поверхность цилиндра Вычисляя боковую поверхность цилиндра (5б. ц. ), найдем: 5б. ц. = lim = v' = (гс ф Н ) ' = 2 *RH. Д R * Можно определить площадь поверхности как предел, к которому стремится при гтЪ 0 отношение —— , где v (г) обозначает объем тела, состоящего из отрез- 2 г ков длины 2 г, нормальных к поверхности, серединами которых являются все точки рассматриваемой области поверхности; при этом мы будем предполагать существо­ вание объема v (г) и существование рассматриваемого предела (А. Л е б е г . Об из­ мерении величин. Изд. второе. Учпедгиз, I960). ** На чертеже 32, х — обозначает длину нормали (перпендикуляра), опущенной из центра основания конуса на его образующую, а Дх — приращение х (толщина обвертки). Аналогичным образом у и ьу также обозначают длину нормали и ее при­ ращение. 46