УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Развертка цилиндра, толщины л R, 271 ( R * * g ) Развертка цилиндра толщины л R 2 2я ( * + ф Чертеж 29. (5—6 мм), легко заметить, что длины разверток, а значит и их пло­ щади различны (ст. чертеж 29). Причем очевидно, что чем развертка тоньше , тем ее площадь ближе к площади боковой поверхности данного цилиндра радиуса R. Площад'ь развертки по сути дела представляет не площадь боко­ вой поверхности цилиндра радиуса R, а площадь боковой поверх- г. , ности цилиндра радиуса R + -- , то есть площадь среднего неде- фермированного слоя развертки, где R — радиус обвертываемого цилиндра, а Д R — толщина развертки (чертеж 29). б) напомнив учащимся о приближенном вычислении площади фигуры путем взвешивания (7 класс), следует разъяснить, что о ве­ личине кривой поверхности можно судить еще по объему слоя (об­ вертки), покрывающего эту поверхность, и его толщине. А именно: площадь кривой поверхности приближенно равна отношению объема V покрывающего ее слоя к его толщине *, то есть SKp. пов. ~ --сл- (чер­ теж 30), где 5к.п. — площадь кривой поверхности, v крывающего ее слоя, a /гсл. — толщина слоя. в) Пусть |мы имеем цилиндриче­ скую или какую-либо иную кривую поверхность. Построим на ней слой одинаковой толщины /г, объем кото­ рого v (чертеж 30). Тогда предыду­ щие рассуждения и практические приближенные оценки площади кри­ вой поверхности приводят к опреде­ лению площади кривой поверхности как пределу отношения объема по­ крывающего ее слоя ( v ) к его тол­ щине ( h ) когда h стремится к нулю. СЛ. объем по- Чертеж 30. Таким образом, получаем определение: 5кр. ПОв. = lim л-о h . где 5 — площадь кривой поверхности, h — толщина покрывающего эту поверхность слоя, a v — объем этого слоя. * Например, в случае цилиндра развертка представляет параллелепипед, пло­ щадь основания которого (площадь развертки) равна отношению его объема (объем слоя) к толщине развертки (высоте параллелепипеда). 45