УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Как видим, вывод формулы площади треугольника аналогичен выводу формулы объема пирамиды, но на всех этапах значительно проще его. Поэтому он во многом подготовит учащихся к восприя­ тию более сложного вывода формулы объема пирамиды. Объем усеченной пирамиды вычисляется как разность объемов соответствующих полных пирамид (см. учебник геометрии Кисе­ лева). Объем цилиндра и конуса Выводы формул для вычисления объемов цилиндра и конуса аналогичны и довольно просты, поэтому могут быть проведены одно­ временно (параллельно) на одном уроке. Рассмотрим вывод формулы объема цилиндра. I часть. Если через v~ и v + обозначим соответственно общие члены последовательностей объемов вписанных и описанных в ци­ линдр правильных призм, получаемых при неограниченном удвоении числа их сторон оснований, то найдем, что v„ < ^цил. < v+„ (4-е свой­ ство объемов), кроме того, lim v~ = lim v+. П-+ оо В [самом деле, lim v„ = lim Sn -H= k R2H и lim v„ = lim S„ -H== = « R 2H, так как ранее установлено, что Iim 5^ = lim5n = k R2 (глава 3, § 2), где Я — высота цилиндра и призм, а 5л и Sn — площади ос ­ нований соответственно вписанных и описанных призм. На основании теоремы А заключаем, что ^цил = lim vn = lim К = т' ^ н - Как видим, здесь вторая часть — вычисление vwa отпадает, так как по ходу доказательства в первой части были вычислены Нтх»л и liming. Формула объема конуса, как уже было сказано, выводится ана­ логично. Объем усеченного конуса вычисляется как разность объе­ мов соответствующих конусов (см. учебник геометрии Киселева). Объем шара и его частей V „ полушара Д о к а з а т е л ь с т в о : a) v- < vn ш < v+ (4-е свойство объема); Пусть чертеж № 27 пред­ ставляет разрез полушара и соответствующих ступенча­ тых тел (внешних и внутрен­ них), состоящих из цилиндров. Обозначим общий член после­ довательности объемов внеш­ них ступенчатых тел — и+, а внутренних Vn (на чертеже обозначенных пунктиром). I часть. Т е о р е м а. = lim Vn■ б) Vn— Vn = k R '2— ■ < £ при m > m ма A) v„. ш. = lim •у- = lim v+. TzR3 следовательно, (теоре- 42