УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

З а м е ч а н и е . Если учитель считает, что класс недостаточно подготовлен к восприятию при­ веденных здесь вычислений,свя­ занных с предельным переходом, то предварительно аналогичным методом можно вывести форму­ лу площади треугольника. При­ водим этот вывод. Пусть высота треугольника ABC (чертеж 26) разделена на т равных частей; построены внешние и внутренние (пункти­ ром) ступенчатые фигуры, с о ­ стоящие соответственно и з т и т моугольников). 1 параллелограммов (можно пря- 1 Докажем, что площадь треугольника ABC равна а-Н. — 4- — + 1-я часть. Т е о р е м а : SA = lim Sn = lim S„, где Sn и Sn — c o o t : ветственно площади внутренней и внешней ступенчатой фигур. > — ~Ь На основании 4-го свойства площадей имеем S„,< < 5„,кроме + — уу того, S„ —Sn= площади параллелограмма ADEC = a • — < е при т т > На основании теоремы А заключаем, что 5Д= lim Sn = lim Sn. e m-*■ос 2-я часть. (Вычисление площади треугольника) S. = lim Sn= lim (S{+ S 2+ S3+ . . .+ Sm) ( 1 ) где Su S 2, . . . Sm — площади параллелограммов, составляющих внеш­ нюю ступенчатую фигуру (счет идет от основания треугольника). Обозначив длины оснований этих параллелограммов соответст­ венно a t; a2; . 5 , ,ат, найдем: Н Н т Н , , -—-= а — = — а — (так как а {= а ) т т т т о __ Н О о - Ыо • -- т — 1 Н (из подобия соответствующих треугольников) (из подобия соответствующих треугольников) аН *2 S, + S2+ • • • Sm = [да + (т - 1) + . . . + 1] = т г _ аНт (т + 1 )__яЯ ,1\ т^2 ~~ 2 V ' т ) ' Подставив найденное значение Sn в формулу (1), получим S. = lim Sn = lim * £ ( l + — ) = ^ Г - л " m- oo' 2 V „ . я / 2 41