УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Следовательно, ^ ткя-призмы ^дл2в,сг’ ^^1 ’ н0 лгвгсг *^ддвс'с08а (см. п. 3), а СС, = SiH . (из ДСС.АГ , где /_ СС{К = Z С2МС, как COS а острые углы с со ответственно перпендикулярными сторонами). Подставляя найденные значе­ ния, получим vHiK]l призмы= = S длвс-С,/С или в принятых обозначениях г>н. пр. = S 0CH /Н . Как видим, при таком по­ рядке изложения материала происходит некоторое сокра­ щение количества изучаемых теорем по сравнению с обыч­ ным порядком изложения, а именно: не рассматриваются теоремы об объеме прямого и наклонного параллелепипе­ дов и теорема об объеме тре­ угольной наклонной призмы, доказательство которых трудно усваивается учащимися. Объем пирамиды Предварительно сообщается учащимся, что пирамиду нельзя преобразовать в равносоставленную с ней призму и что эксперимен­ тальный вывод (см. стр. 34) не является логически обоснованным. Переходя к выводу формулы объема пирамиды с помощью пре­ дельного перехода, надо четко выделить две его части: первую, где доказывается, что объем пирамиды является общим пределом после­ довательностей соответствущих ступенчатых тел, и вторую, где этот предел вычисляется. Эту схему вывода формулы объема пирамиды следует хорошо усвоить учащимся для того, чтобы они могли применять ее при вы­ воде формул объемов тел вращения. Вывод формулы объема пирамиды. Введем обозначения г>пир — объем пирамиды, 5 — площадь основания пирамиды, Н — высота пи- — + рамиды, vn и vn — соответственно общие члены последовательностей объемов внутренних и внешних ступенчатых тел (чертеж 25), т — число делений высоты пирамиды (число призм во внешнем ступен­ чатом теле). — + I часть. Т е о р е м а : v = lim v n = lim v n. П-*■oo Д о к а з а т е л ь с т в о : на основании 4-го свойства объемов имеем — + + — V n < ^пир. < ®Л. КР ° М е Т 0 Г ° . Vn — Vn = *>1 (призмы) ’ ГД е * 1 - 0бъем призмы, первой от основания пирамиды, 5 — площадь основания этой призмы, н „ -—— ее высота. Это надо хорошо разъяснить учащимся не только т по чертежу, но и на модели пирамиды с вынимающимися призмами, составляющими то внутреннее, то внешнее ступенчатое тело. Такая модель есть фабричного изготовления. + — JLJ f-J Следовательно, vn — v. = S -- < е при т у — — . Согласно тео- т е ' — + реме А заключаем, что г>пи = lim vn = lim vn. П—oo 39