УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

учебнике Киселева. В случае же, когда хотя бы одно из чисел — ирра­ циональное, вывод формулы объема прямоугольного параллелепипеда, аналогичен выводу формулы площади прямоугольника (гл. 3, § 2), поэтому мы его опускаем. Объем призмы Вывод формул для вычисления объема произвольного параллеле­ пипеда, прямой и наклонной призм может быть изложен так, как в учебнике геометрии А. П. Киселева. Однако возможна и иная после­ довательность вывода этих формул. Наметим кратко схему изложе­ ния материала, отличную от той, которая имеет место в учебнике геометрии А. П. Киселева. 1. После того как получена формула для вычисления объем прямоугольного параллелепипеда, выводится формула объема прямой призмы (треугольной и многоугольной). С этой целью обосновыва­ ется процесс преобразования прямой треугольной призмы в равно- составленный с нею прямоугольный параллелепипед (см. чертеж 21). Равенство (конгруэнтность) соответствующих призм, например СКМСХК\МХ и КВЕК\ВХЕХ следует из возможности их совмещения (основания призм могут быть совмещены как равные треугольники, а ребра — вследствие их равенства и перпендикулярности к плоскости основания). Возможность рассечения любой треугольной призмы на части, из которых может быть составлен прямоугольный параллелепипед, следует из того, что в любом треугольнике (основании призмы) можно провести высоту (СМ) (к большей стороне АВ), проходящую внутри его, а следовательно, и плоскость СМС,М,, рассекающую призму. Вывод формулы объема мно­ гоугольной призмы не представ­ ляет трудности (см. стр. 34). 2. Доказывается лемма о рав- новеликости наклонной и прямой призм (см. учебник Киселева). 3. Рассматривается теорема о соотношении между площадью многоугольника и площадью его t проекции на плоскость, а именно: Чертеж 23 6. ^проекции = 5 м„ог.-C0S “ > 5 пр. ~ площадь проекции многоугольника на плоскость, 5мног — площадь проектируемого многоугольника, а — угол между плоскостью проектируемого многоугольника и плоскостью проекции. Доказательство этой теоремы не сложно, особенно если ограничиться треугольником (см. чертеж З-б). В самом деле S aab , c = J A C ByD = 1 AC-BD cos a = SAABC • cos a. 4. Выводится формула объема наклонной призмы (чертеж 24) На основании леммы о равновеликости прямой и наклонной призм заключаем, что объем наклонной призмы АВСА.ВуСу равен объему прямой призмы с основанием А2В2С2 (А2В2С2 — перпендикулярное се­ чение наклонной призмы) и высотой, равной СС{ — боковому ребру наклонной призмы. 38