УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

кубов z>0. Далее подсчитаем число кубиков сетки, ребра которых равны ^ ребра единичного куба, целиком, содержащихся в данном теле (шаре). Разделив это число на 1000, получим в результате та­ кого пересчета вновь число единичных кубов (вообще говоря дроб­ ное), которое обозначим и т. д. Будем бесконечно продолжать этот процесс подсчета единичных кубов, содержащихся внутри тела (шара). Получим, очевидно, неубы­ вающую последовательность чисел v0; . . . vn ... (1), ограниченную сверху, например, числом единичных кубов, имеющих хотя бы одну общую точку с данным телом (шаром). Известно, что последовательность (1) имеет предел, который и принимают за объем данного тела (шара) “Утела= lim vn, где v0, vx.. . vn являются или приближенными значениями г>тела по недостатку, или равны начиная с некоторого значения п. Короче говоря, объемом тела называется число единичных кубов, содержащихся в нем. Здесь важно разъяснить учащимся, что число единичных кубов о которых говорится в определении, вообще говоря, не совпадает с числом единичных кубов, целиком содержащихся внутри тела, а является пределом соответствующей последовательности. Объем по­ лучается как бы в процессе пересчета бесконечно растущего числа кубиков все уменьшающихся размеров и целиком содержащихся в теле, в число единичных кубов. Приведенные рассуждения, конечно, не претендуют на логиче­ скую строгость в изложении понятия объема тела, но являются достаточными для разъяснения этого понятия в школьном курсе ма­ тематики. Далее разъясняется учащимся практическая целесообразность такого определения объема тела, а также его основные свойства: а) равные (конгруэнтные) тела имеют равные объемы; б) если тело состоит из нескольких частей (тел), то объем всего тела равен сумме объемов частей, его составляющих. (Это свойство легко пояснить на примере прямоугольного параллелепипеда, состоя­ щего из нескольких параллелепипедов, измерения которых — целые числа; в) равносоставленные тела равновелики (имеют равные объемы). Это свойство следует из первых двух; г) если тело состоит из нескольких частей, то объем каждой части меньше объема всего тела. Это свойство следует из 2-го свой­ ства и из свойства суммы положительных чисел, где каждое слагае­ мое меньше своей суммы. Будем считать само собой разумеющимся, что объем каждого из рассматриваемых в элементарной геометрии тел существует. 2. Формулы для вычисления объемов некоторых тел Объем прямоугольного параллелепипеда Пусть а, р и у— измерения прямоугольного параллелепипеда. В случае, когда а, р, у — рациональные (положительные) числа, вы­ вод формулы для вычисления объема параллелепипеда смотрите в 37