УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Тогда произвольный треугольник ABC (чертеж 20), в котором АС — наибольшая сторона, а высота ВК проходит внутри треуголь­ ника, всегда преобразуется в равносоставленный, а значит и равно­ великий ему прямоугольник ADEC со сторонами b и ~^hb, откуда SAABC = 1 Ъ . hb = 1 aha = 1 chc. З а м е ч а н и е . Вывод формулы площади треугольника до фор­ мулы площади параллелограмма удобен, как видим, после изучения свойств подобных треугольников, поэтому в курсе 7-го класса нами была принята соответствующая последовательность в изложении материала. в) Круг и его части Для вывода формулы площади круга, придерживаясь обозначений (см. гл. 2, § 2, стр. 30), предварительно докажем следующие четыре теоремы. 1. Последовательность {£„} монотонно возрастающая, ограничен­ ная сверху и имеет предел. Теорема непосредственно следует из 4-го свойства площадей (5„ < 5л+1 < К) и признака Вейерштрасса о существовании предела монотонно возрастающей ограниченной по­ следовательности. 4* 2. Последовательность монотонно убывающая, ограниченная снизу и имеет предел (4-е свойство площадей и признак Вейер­ штрасса). 3. lim S„ = lim Sn. В самом д е л е ,- ^ ^ ===l i m— = l i m— ==— = 1, ' и Л J Я2 Л* lim Sn Sn — *г откуда lim = lim S„ (свойства предела частного и отношения пло­ щадей подобных правильных многоугольников). — "Ь — 4. К = lim Sn = lim Sn. Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как lim Sn= 4* — + = lim5„ (см. пункт 3) и Sn < К < Sn (4-е свойство площадей), то на — + основонии теоремы А, заключаем, что ЛГ= lim Sn = lim Sn. Теперь нетрудно пайти выражение площади круга в зависимости от его радиуса (R). Если предварительно была выведена формула длины окружности C = 2 tz R (первый вариант изложения), то последовательно получим К =* lim Sn = lim -~Pn-R = ~ C - R = kR2. Если был принят второй вариант изложения длины окружности, то далее надо поступить так, как в пунктах 5 и 6 второго варианта изложения материала (см. стр. 18). Формула площади сектора Sa для случая, когда дуга сектора а содержит целое число градусов (га°), может быть получено так. Сначала находим выражение для площади сектора при а = 1 ° 5 Г = = — (на основании 1-го и 2-го свойства площадей), а потом для 360 а = п° (я — натуральное число) получим Sno= (Ьое и 2-ое свой­ ства площадей). Формула легко может быть обобщена и на случай, когда а обозначает положительное действительное число не боль­ шее 2?г. 31