УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

С другой стороны, по определению произведения положительных вещественных чисел имеем “„ •?„< «-р < <*ЛРЛ. . . (2). Из неравенств (1) и (2) на основании единственности произведения вещественных чисел окончательно получим, что Sj —,ABCD = а-p. (Что и требовалось доказать). Третий способ, основанный на использовании следующей теоремы (леммы): Т е о р е м а А. Если <*„< С < — + lim а_ = lim а„ то С = lim ал= lim ап, где а„ 4" оп — общие члены числовых последова?ельностей, а С — постоянное число. Докажем ее. О < С - ап < ап — “ я Из условия теоремы следует для ra>7V(s) <*« - < £ и s > 0, откуда по определению предела последовательности имеем — + С = lim <хя= lim ял (и т. д.). З а м е ч а н и е . В дальнейшем иногда будем теорему (А) приме­ нять в несколько ином виде, а именно: если для е > 0 и п > Л'(е) — 4* ‘ имеют место неравенства ■а>1 ^ ^ а" , то С = lim ал= lim ая. ~~ П—*■оо ~ Е Применим теорему А к выводу формулы площади прямоуголь­ ника 5п = а*р, где а. и Р— измерения прямоугольника. На основании — — 4* 4- 4-го свойства площадей имеем ал£Зя < S q < ал(Зя (см. чертеж 19), с дру­ гой стороны, по свойству приближенных значений чисел а и р полу- — — 4- -f — — чим: lim алр„ = lim алрл= а -p, откуда (по теореме А) S q = lim ал|Зл= 4" 4" = lim вяря-=а.р. б) Треугольник и другие многоугольники. Выводы формул площадей параллелограмма, треугольника, тра­ пеции и правильного многоугольника, рассмотренные в курсе восьми­ летней школы, могут быть повторены и в старших классах средней школы. Однако можно поступить несколько иначе и вывести сначала формулу площади треугольника, преобразовав его в равновеликий прямоугольник, а потом формулы для других много­ угольников путем разбивки их на треугольники. Для этого надо предварительно доказать, что во всяком треугольнике произведение его стороны на соответ­ ствующих) ей высоту есть величина постоянная ( aha = = bhb= chc), что, как изве­ стно, следует из подобия соответствующих треуголь- Чертеж 20. НИКОВ.