УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

истинного значения 2,5175 кв. дм, а если бы продолжили вычисление площади и далее, то получили бы монотонновозрастающую после­ довательность яисел\ {S„} — 1; 2,37; 2,5165; 2,5174; 2,51749; 2,517499... ...Sn..., ограниченную сверху, например, числом 4 (число единичных квадратов — кв. дм, имеющих хотя бы одну общую точку с много­ угольником ABCDE). На основании признака Вейерштрасса о существовании предела монотонной ограниченной последовательности заключаем, что lim S„ существует. Этот предел и принимается по определению за площадь плоской фигуры (5фиг ), в данном случае пятиугольника ABCDE. Таким образом приходим к определению S. = lim S „ . /2 —оо На рассмотренном примере учащимся нетрудно разъяснить, что бесконечная десятичная дробь 2,517499999..., создаваемая членами последовательности: 1; 2,37; 2,5165; 2,5174; 2,51749, 2,517499... имеет своим пределом точное значение площади пятиугольника ABCDE число 2,5175. Далее повторяются и разъясняются свойства площади. 2. Формулы для вычисления площадей некоторых плоских фигур а) Прямоугольник Т е о р е м а . Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон. Если а и £ — длины сторон прямоугольника, а S ^-j его площадь, то надо доказать, что 5^-j = a-p. Для случая рациональных а и р теорема рассмотрена ранее. Докажем ее справедливость для случая, когда а и р положительные действительные числа, причем хотя бы одно из них является иррациональным. Вывести формулу 5а == а-3 можно несколькими способами. Первый способ, основанный на непосредственном использо­ вании определения площади фи­ гуры (чертеж 19). Пусть ап и Р„— соответствен­ но приближенные значения а и р по недостатку с точностью до — . Тогда ос -й = S есть число ] Qrt П \П П единичных квадратов, получен­ ных в пересчете из квадратов со ст орон ой ^ единичного и це­ ликом содержащихся в данном прямоугольнике ABCD. Действитель­ но, а„-ря= ( а 10")•10"): 100". Следовательно, 5 П ABCD= lim Sn = —1 П-* оо 1йпалря = limart-limр„ = а -p (определение площади, свойство прибли­ женных значений числа), что и требовалось доказать. Второй способ. На основании 4-го свойства площадей имеем « ,А = S n< S 0 ABCD< S n = a„p„ . . . (1), где Sn и Sn - площади прямо- — +-г+ — 4 " Т угольников ABCD и ABCD, измерения которых ая х Р„ и а,( X Р„- ♦ 29