УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Ошибка здесь заключается в том, что свойства произведения чисел незаконно распространены на математические выражения. 6 . В пунктах а-г (стр. 113—115) оговорки сделаны только отно­ сительно значений неизвестного, что является так же неудачным, как и в отношении теоремы 3 (см. наш пункт 4). Кроме того, пункты „б“ и „в“ следовало бы опустить как практически ненужные. На стр. 115 неверно утверждается, что при делении частей урав­ нения на F(x) посторонние корни могут находиться среди тех зна­ чений неизвестного, которые лишают смысла делитель F(x). В са­ мом деле, рассматривая уравнения f(x ) = <р( х ) ... ( 1 ) и . . . ( 2 ), легко понять, что те значения, которые лишают числового смысла F(x), не могут быть и корнями (2). Посторонние корни мо­ гут, очевидно, появиться лишь после тождественных преобразований частей уравнения (2). Например, разделив обе части уравнения * = 3 1 1 о 1 на — , получим уравнение х :— ==3:— , которое не имеет посторон­ них корней, а после тождественного преобразования получим урав­ нение х 2 = Зх, имеющее посторонний корень xssO для данного уравнения х = 3. Такие многочисленные оговорки в теоремах, да еще ошибочные, крайне нежелательны, так как могут совсем запутать учителя. Всего этого можно было бы избежать, если бы рассматривать равносиль­ ность уравнений на их общей области допустимых значений, а не так, как делают авторы. 7. На стр. 8 говорится, что „решить уравнение — значит найти все его решения или установить, что их нет“. Это понятно. Но как надо понимать предложение: „решить систему уравнений — значит найти множество всех ее решений 14 (стр. 117) — неясно. 8 . На протяжении всей книги при доказательстве теорем о рав­ носильности рассматривается 2 -йслучай, когда уравнения не имеют решений, и проводится доказательство равносильности в этом слу­ чае методом от противного. На наш взгляд в старших классах сле­ довало бы выяснить взаимосвязь Между прямой, обратной и проти­ воположным им теоремам. На основании этого разъяснять учащимся, что 2 -йслучай доказательства всегда является следствием 1 -го и не требует специального доказательства. 9. Неправильно, что уравнение ах 4 -Ь (стр. 120) при а = 0 относится к уравнениям первой степени и что при а = Ь = 0 в одном случае дается решение в форме х-любое действительное число, а в другом в форме — уравнение имеет бесконечное множество решений. Здесь разница не только в форме, но и в содержании. Нельзя отождеств­ лять множество решений с их числом, ведь и уравнение sin х = О тоже имеет бесконечное множество решений, но это не означает, что его решением является любое действительное число (стр. 1 2 0 )., 10. В книге нечетко изложены понятия р е ш и т ь и и с с л е д о ­ в а т ь уравнение, систему уравнений и задачу (сравните стр. 8 , 46, 119 и 132), тогда как авторы сами упрекали в этом учащихся и школьную практику. Читая книгу, трудно установить разницу меж­ ду задачей решения и задачей исследования уравнений, скорее всего, что они в книге тождественны. Тогда естественно возникает во­ прос, зачем лве задачи и два термина? Совсем не рассматривается в книге вопрос о том, что значит решить задачу с параметрами и без параметров. 11. Недостаточно четко и полно проведено алгебраическое и гра­ фическое решения системы уравнений l ° lX 1 С> [1]. Не указа- I а . , х Ь о у = с , 253