УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

неизвестные или известные числа, при решении уравнений и нера­ венств. Указание на то, что корни уравнения — это не просто значение букв, а именно допустимые значения букв, очень важно при реше­ нии уравнений, составленных из условия задачи. По сути дела ав­ торы на такую точку зрения становятся впоследствии и сами. На­ пример, при решении задачи 1 (стр. 46—47), где уравнение 2 х2 + + 6 х — За = 0 решалось не для любых действительных значений па­ раметра а, а только для а > 0. Уравнение И* = 30 целесообразно и рационально также решать в области натуральных значений х, а не вещественных. 3. Определение равносильных уравнений (стр. 8 ) находится в противоречии с подстрочным замечанием, где указывается, что урав­ нения х — 1 = 0 и (х — 1 ) 2 = 0 неравносильные, хотя все решения пер­ вого уравнения являются решениями второго и обратно, как ука­ зано в определении равносильных уравнений. Авторы придерживаются той точки зрения на понятие равно­ сильности, при которой каждое уравнение рассматривается на своей области допустимых значений, а не на общей области. Такая точка зрения всегда приводит и не может не привести к более сложному построению теории равносильности, к необходимости разбираться в излишне большом числе оговорок в формулировках теорем и их следствий. Особенно это относится к теоремам 2 и 5 (стр. 106, 113—115). Полнее об этом нами сказано в книге „Вопросы препода­ вания математики” (Учпедгиз, 1958 год). 4. В теореме 3 (стр. 109) почему-то говорится о прибавлении выражения f(x), имеющего смысл лишь при допустимых значениях неизвестного , тогда как в практике решения уравнений приходится, конечно, прибавлять выражения, содержащие неизвестные и пара­ метры. Получается, что либо теорема непригодна для решения урав­ нения с параметрами, либо авторы умышленно опускают в формули­ ровке параметры и полагают, что это допустимо. Что это не так, легко установить из сопоставления уравнений ах = ах + а 2 ( 1 ) и X X ах Ч--- = ах + а2 -\ --- ( 2 ), которые неравносильны, так как первое а а I а = 0 имеет решения { ( х — любое действительное число, а второе совсем не имеет решений. (Заметим, что уравнения [1] и [2] неравносильные с точки зрения авторов рецензируемой книги). 5. Теорема 4 (стр. 111) по сути дела тоже неверна. В самом деле, пусть дано уравнение /(-*)•<? (х) = 0 , где, например, f(x ) = = x+|x| , а <р(х) = х | х |. В книге говорится, что „если х ^ Ь есть решение данного уравнения, то f(b)-y(b)ss0 или (Ь •+ | 6 |)Х X (Ь — |й|) = 0. Но это возможно только в том случае, когда имеет место по крайней мере одно из равенств 6 + |£| = 0 и Ь— | 6 |= 0 . “ Как видим, ни одно из равенств ft + |ft| = 0 и b— \b\=0 не яв­ ляется тождеством, а равенство (b -f | b |)-(b — | b |) = 0 есть тожде­ ство, вопреки утверждению авторов. Следовательно, теорема и ее доказательство несостоятельны. Мы привели пример уравнения — тождества, не содержащего параметров. Можно привести уравнение с параметрами, но не являющееся тождеством, например, (ах + | а |)• — | a Q = 0 и также убедиться, что при л ; = 1 получим тождество (а + |а|)Х X (а — |а|) = 0 , однако ни один из сомножителей а + |а| и а — |а| при этом не равен тождественно нулю. 252