УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Однако учащимся трудно бывает предвидеть наилучший ход ре­ шения. Вся трудность первого пути заключается в необходимости наблюдения за областью допустимых значений неизвестных в про­ цессе преобразования уравнения. Особенно бдительным надо быть, если происходит сужение области допустимых значений. Этот факт надо отметить и продолжить решение исходного уравнения на том множестве чисел, на которое произошло сужение первоначальной области допустимых значений букв (cisf. пример 1). Пренебрежение же к сужению области допустимых значений обычно приводит к по­ тере решений. Так, при решении уравнения tg2x + ctgx = О (первым путем) нам приходилось наблюдать потерю всех его решений х = у (2т + 1 ). хР _L § £ 2 П р и м е р 2. —— -= -- [1]. .Допустимые значения х ф 2 или M = D-{2\. Применяя „производную пропорцию1, получим уравнение 7 ^- = —р-[2]. Решая его на суженной области Мх= D — {2; 0}, най­ дем /С 1 = {— 2). Решая исходное уравнение в области М2= М —Мх= = { 0 }, получим К2= { 0 }, откуда ответ Кх + К2= {—2; 0 }. Можно оформить решение уравнения [1] и так: составив произ­ водную пропорцию, отмечаем, что область допустимых значений су­ зилась (х = ^ 0 ), а потому, решив уравнение [ 2 ] в этой суженной области, надо только проверить, не является ли х = 0 корнем исход­ ного уравнения. Такая схема и форма мысли, как показал опыт, вполне доступны учащимся. П р и м е р 3. ах — а — область допустимых значений: х — любое число L а — любое число. ,, ( х — любое число Решая сначала уравнение в области J , находим ре- \аф0 шение а Ф 0 д и далее, решая уравнение ах = а в области х = 1 х любое число а = 0 , а = 0 находим решение { , х — любое число. Ответ: 1. [а * О 2.(а = \х= 1 , [х — 0 любое число. Этот простой пример показывает, что решения (корни) уравне­ ний, содержащих параметры, также разыскиваются не сразу во всей области допустимых значений букв, а лишь постепенно: сначала в одной части этой области, потом в другой и т. д., пока не будет исчерпана вся область допустимых значений. Общий вывод. Из предыдущего легко видеть, что теорема А имеет весьма широкое применение при решении уравнений. Теоремы, аналогичные теореме А, имеют место для неравенств, систем уравнений и неравенств. Теорема А весьма проста для понимания и применения и, 248