УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Решая уравнение |1| на УИ,, получим — х 2 + 2х — 8 = ох — 6 и далее х = — * или, обозначив К\ — множество корней уравнения [ 1 ) X - — 2> на Ми запишем К\= \— 2; — 1}. На М2 получим уравнение: х2+ 2х — 8 = 5х — 6 , ^от орое имеет 3 4- I 7 17 „ /3 + К1 7 ) на М2 лишь один корень х = -— ^-- или Аг — {-- ^ -- ) * На М3 получим уравнение х2— 2х 4- 8 = 5 х— 6 , которое совсем не имеет корней на М 3, иначе: К3 — пустое множество. Согласно теореме А множество корней уравнения |1) на М бу- { 2 4- I )7 1 — 2 ; — 1 ; -- ц -- j или как обычно х = — 2 х = — 1 3 + '7 17 • * = — 2 — З а м е ч а н и е . Приведенная нами формализация процесса реше­ ния уравнения |1] совершенно не обязательна. Мы это сделали лишь для иллюстрации применения теоремы А и введенных там обозна­ чений. II. Теорема А также применима в том случае, когда в процессе преобразования исходного уравнения область допустимых значений выводного уравнения становится уже, чем исходного. П р и м е р 1. tg2x + ctgx = 0 [1]. Область допустимых значений I х ^ 4 ^ или иначе область допустимых значений X ф v.k M = D - ^ ( 2 n + 1 ); it/fe) , где D — множество действительных чисел, а п и k — целые числа. Преобразовав уравнение (1) к виду ^ 2 = ^ (2) с об­ ластью допустимых значений Af, = D — |~(2« + 1); nk; ^ (2т + 1) |, более узкой, чем для уравнения [ 1 ], а именно М = Ж, + J-j( 2 m + 1 )} , ^обозначим |у (2т + 1) j = Ж2^ . Решая далее уравнение [2], равно­ сильное уравнению [I], ла УИ,, приходим к уравнению l + t g 2x = 0 , не имеющему корней на Ж), то есть Кх — пустое множество. Решая уравнение [1] на Ж 2 = {-^ (2т + 1) j , приходим к выводу, что АТ 2 = (2/ге + 1)|. Ответ: К = К Х 4- К2 = {-у (2т + 1 ) | или х = + !)• З а м е ч а н и я : 1. В этом примере на Ж, решалось не данное уравнение (1), а равносильное ему на Ж, уравнение (2), что вполне естественно и закономерно, так как это не меняет ни множества корней Ки ни множества К. 2. Если бы левую часть уравнения (1) выразить не через Igx , а через s i n* и со>х, тогда бы область допустимых значений его не изменилась и весь процесс решения выглядел бы несколько проще: получили бы уравнение cosjc = 0, и его решение х = -^*(2 т + 1). 247