УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

П. А. БУДАНЦЕВ ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕМЕ АЛГЕБРЫ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИИ Пусть имеем уравнение / (х) = <р(л:), рассматриваемое на мно­ жестве М * значений переменной х, и пусть М 1, М2, М3. . . М п непе- ресекающиеся множества значений переменной х, удовлетворяющие условиям: 1) Ml а М ; M2c zM . . . Мпа :М и 2) М = AJ, + М2 + ... + Мп. Т е о р е м а А. Если К обозначает множество корней уравнения f(x ) = 'p (x )... [1] на множестве М, а К\,К2. . . Кп обозначают мно­ жества корней уравнения [1] соответственно на Ми М2. . . Мп, то а г = / с , + а:2+ . . . к п г Д о к а з а т е л ь с т в о : 1. Рассмотрим случай, когда множество К — пустое. В этом случае надо показать, что каждое из множеств Кх, К2. .. Кп и (/Ci + К2 + • • • + Кп) также пустое. В самом деле, если уравнение (1) не имеет корней на М, то оно не может иметь корней и на M/CzM (i = 1, 2 , . . . « ) . Допустив противное, что уравнение | 1 ] имеет корни на Mt, получим, что оно имеет корни и на M zdM i, а это противоречит условию, что К — пустое множество. 2. Если множество К не пустое, то надо доказать, что всякий элемент (корень) множества К есть элемент множества Кх+ К2+ + . . . Кп и наоборот. Действительно: а) если а £ К с z М = М г+ М2+ . . . + Мп, то M it где i одно из чисел 1 ; 2 ; . . . п и так как а к тому же корень урав­ нения [1| на Mit то Следовательно, ог^/С, + К2 + . . . + Kt + + • • •+ кп. б) если + К2 + . . . + Кп, то (т — одно из чисел 1 ; 2 ; . . . п), a KmczMmczM и так как Р к тому же есть корень урав­ нения [1] на Мт с М , то $£ЛТ (4. т. д.). Так как теорема А очевид­ на, а доказательство ее своеобразно и трудно для учащихся, то его можно опустить. Покажем применение теоремы А при решении некоторых видов уравнений. I. Данная теорема применяется при решении уравнений, содер­ жащих абсолютную величину. П р и м е р . х|х| — 2\х — 4| = 5х — 6 ... |1]. Множество допусти­ мых значений УИ= (— оо; + оо) = (— оо, 0] + (О, 4] + (4, + оо). Введем обозначения: M t = (— оо, 0J. М2= ( 0, 4) и M3ss( 4; + оо). * Множество М обычно совпадает с множеством допустимых значений не­ известной х. ** Записи М = Mi + М2+ ■■■+ М„ и К = К\+ + ■■■+ Кп обозначают тео­ ретико-множественные суммы. 246