УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

будут равносильными, так как оба имеют одни и те же решения — любые числа. Следовательно, при умножении обеих частей уравне­ ния на нуль может получиться как равносильное, так и неравно­ сильное уравнение. П р и м е ч а н и е . Применимо ли это свойство, если множитель будет не опре­ деленное число, выраженное цифрами, как в наших примерах, а числом, выражен­ ным буквой или буквенным выражением? Тогда это свойство надо понимать так, что выражение, на которое умножаются части уравнения, не должно обращаться в нуль при допустимых значениях букв, входящих в данное уравнение. Приведем пример решения уравнения с помощью свойств урав­ нений. } ( * — 3 ) — 5 } = 2 | — 1 ( * + 4 ). t (1) Для упрощения данного уравнения выгодно обе части его умно­ жить на 6 (второе свойство). Получим 4(х — 3) — 33 = 16 —3 (х + 4). Раскрывая скобки, получим 4х — 12 — 33 = 16 — Зх — 12 и далее на основании первого свойства получим 7х = 49 и, вновь применяя второе свойство, разделим обе части на 7, получим х = 7. Запишем все решение без подробных объяснений так: 1. | ( , - 3 ) - 5 i - 2 | - J ( x + 4). 2. 4 (х — 3) — 33 = 16— 3(х + 4) (2-е свойство). 3. 4х — 45 = 4 — Зх. 4. 7х = 49 (1-е свойство). 5. х = 7 (2-е свойство). Ответ: х = 7. Справа около уравнений указано то свойство уравнений, на основании которого получено это уравнение из предыдущего. При переходе от 2 -го уравнения к 3-му не записано никакого свойства, так как 3-е уравнение получено из 2 -го не на основании 1 -го и 2 -го свойства, а путем тождественных преобразований левой и правой частей 2 -го уравнения, раскрытия скобок и приведения подобных членов. Причем легко проверить, что 2-е и 3-е уравнения равносиль­ ные, так как у них один и тот же корень 7. (Проверьте). Следовательно, мы узнали еще одно свойство уравнений. Третье свойство уравнений Если одну или обе части уравнения тождественно преобразо­ вать, то новое 1уравнение будет равносильно данному. Теперь мы можем заполнить имеющийся пробел в обосновании процесса решения уравнения, указав, что третье уравнение равно­ сильно первому на основании третьего свойства уравнения. Кроме того, можно сказать, что первое (данное) уравнение равносильно последнему простейшему уравнению (пятому), потому что первое равносильно второму (по 2 -му свойству), второе — третьему (по 3-му свойству), третье — четвертому (по первому свойству) и, наконец, четвертое — пятому (по 2 -му свойству). Итак, процесс решения всякого уравнения сводится к тому, что данное уравнение заменяем другим, более простым, но равносиль- йым ему. Это другое заменяем третьим и т. д., пока не получим .простейшее уравнение вида х = а. В рассмотренном примере про­ стейшим является уравнение х = 7 , решение которого х = 7 оче­ видно. Следовательно, решение простейшего уравнения и будет реше­ нием всех предыдущих, равносильных ему уравнений, в том числе и данного. Б-142.-16 241