УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

Рассматривая уравнения 1-е, 2-е и 3-е, замечаем, что на осно­ вании 1 -го свойства равносильности уравнений можно члены урав­ нения переносить из одной части в другую с противоположным зна­ ком, не изменяя при этом его корней. Так, при переходе от 1-го уравнения ко 2-му и 3-му члены — 5 и 2х были последовательно пе­ ренесены из одной части в другую с противоположными знаками. Откуда получаем 1-е следствие: если любой член уравнения пере­ нести из одной части в другую , переменив его знак на противо­ положный, то получим уравнение, равносильное данному. 2. Надо решить уравнение х + Зх = 10 + Зх. Вычитая из обеих частей данного уравнения по Зх, получим, согласно 1-му свойству уравнений, равносильное ему уравнение х = 1 0 . Значит, корень дан­ ного уравнения xse IO . Рассматривая данное уравнение jc + 3x = = 10 + Зл и выводное х = 1 0 , приходим ко ' 2-му следствию: если в обеих частях уравнений имеются одинаковые члены, то, опустив их, получим уравнениё, равносильное данному. Второе свойство уравнений Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же не равное нулю число, то новре уравнение будет равно­ сильно данному. Покажем (не докажем!) на примерах, что уравнения обладают и этим свойством. 1. Пусть дано уравнение З.х = 6 . Умножим обе части его на 2 числа 2; — 5; — . Получим уравнения: 6 х = 1 2 ; — 15л: = — 30; 5 6 12 — х = — , которые равносильны данному, так как у них один и тот 5 5 же корень 2, что и у данного уравнения. (Проверьте). 2. Рассмотрим еще уравнение-тождество Зх + 6 = 3 (х + 2), ре­ шения которого — любые числа. 2 Умножим обе части его на 3; — 2 и — . Получим уравнения 3 9х + 18 = 9 (х + 2); — 6х — 12 = — 6 (х + 2) и 2х + 4 = 2 (х + 2), кото­ рые, как легко видеть, тоже являются тождествами и имеют те же решения (любые числа), что и данное уравнение. Следовательно, данное и выводные уравнения равносильные. 3. Возьмем, наконец, уравнение 2х + 3 = 2х, не имеющее реше­ ний, и умножим обе его части на числа 5; — 4 и 0,5. Получим урав­ нения Юл; + 15 = 10х: — 8х+-12 = 8 х и л; + 1,5 = лг, которые также не имеют решений. (Проверьте). Значит, они равносильны данному. В формулировке второго свойства есть оговорка относительно того, что части уравнения можно умножать на числа, не равные нулю. В наших примерах мы так и делали: умножали на неравные нулю числа и получали уравнения равносильные. Попробуем нару­ шить это требование (умножим на нуль) и посмотрим, что получится. Возьмем, например, уравнение Зх = 6 , корень которого 2, и умножим обе его части на нуль. Получим уравнение Зл:-0 = 6>0, которое является тождеством и удовлетворяется любыми числами. Например, его корнями будут числа 2; 5; 0; — 4 и все другие числа. Данное же уравнение имеет только корень 2, ему не удовлетворяют такие числа, как 5,0; — 4 и другие (проверьте). Следовательно, при умножении на нуль получили уравнение, неравносильное данному. Вот почему была сделана оговорка относительно нуля. Однако не всегда получаются 1 неравносильные уравнения после умножения на нуль. Так, уравнения х 4 -2 = 2 + х и (х + 2)-0 = (2 + лг)*0, очевидно, 240