УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

4. Уравнения х = х4-3 и х = х — 2 — равносильные, так как оба не имеют корней. 5. Уравнения х4-2 = 5 и 2х — 10 — неравносильные, так как у них различные корни: у первого 3, а у второго 5 . 6 . Уравнения (х — 2)-(х — 5) = 0 и (х — 2 )*(х — 3 ) = 0 — неравно­ сильные, так как у них не одни и те же корни, а имейно: у пер­ вого 2 и 5, а у второго 2 и 3. 7. Также можно говорить о равносильности трех и более урав­ нений, если у них у всех одни и те же корни или все они не имеют корней. Например, уравнения 2 (х + 1 ) + х — 2 == 6 ; Зх = б и х = 2 — равносильные, так как у них один и тот же корень 2. (Проверьте). Рассматривая эти три равносильных между собой уравнения, заметим, что решение 2 -го и 3-го очевидны, тогда как о первом этого сказать нельзя. Однако, раскрыв в нем скобки и сделав при­ ведение подобных членов, получим равносильное ему второе урав­ нение, которое решается просто. Следовательно, чтобы научиться решать сложные уравнения, надо уметь преобразовывать их в более простые, равносильные исходному. В следующем параграфе изучим важнейшие свойства уравнений, которые позволяют сложное уравнение преобразовывать в простое, ему равносильное. § 3. СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ Первое свойство уравнений Если к обеим, частям уравнения прибавить {или из них вычесть) одно и то же выражение , то новое уравнение будет равносильно данному. Покажем на примерах, что уравнения обладают этим свойством. 1. Пусть дано уравнение 2х = 6 , его корень 3. Прибавим к обеим частям уравнения выражения 5; Зх и — U 5, получим уравнения: 2л:+ 5 = 11; 2х + 3х = 6 + 3х и 2 х— 1,5 = 4,5, у которых тот же единственный корень 3. (Проверьте). Значит, все они равносильны данному. 2. Пусть дано уравнение 2х + х = 3х, которое является тож­ деством, потому его корнями будут любые числа. Прибавим к обеим частям уравнения выражения: — 2х; х 4 -2 и — 5. Получим уравне­ ния: х = х; 4х + 2 = 4х + 2 и Зх — 5 = Зх — 5, каждое из которых также является тождеством и удовлетворяется любыми числами, следовательно, все они равносильны данному уравнению. 3. Пусть дано уравнение х + 2 = х, не имеющее корней. При­ бавим к обеим частям выражения: 5х и — 10. Получим уравнения: х 4 -2 + 5х = х 4 -5х; х — 8 = х — 10, которые также не имеют кор­ ней (проверьте), следовательно, они разносильны данному. Надо знать, что приведенные примеры не доказывают справедливости первого свойства уравнений, а лишь в какой-то мере его подтвер­ ждают. Покажем на примерах, как можно применять первое свойство к решению уравнений. 1. Пусть надо решить уравнение Зх — 5 = 2х(1). Прибавим к обеим частям этого уравнения число 5. Получим 3 x i2 x - f- 5 (2), Далее прибавим к обеим частям уравнения (2) выражение — 2х (или вычтем 2х), тогда получим Зх — 2х=^=5 (3) и, сделав приведение по­ добных членов, окончательно получим простейшее уравнение х = 5, корень которого х = 5 удовлетворяет и всем предшествующим урав­ нениям. (Проверьте). 239