УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ: МАТЕМАТИЧЕСКИХ КАФЕДР. ВЫП.1.1967

числа, как например в задаче с двузначным числом. Таким образом, число корней уравнения может быть различным. Во-первых, уравнение может иметь только один корень (реше­ ние), как в уравнении х + 2 = 5. Во-вторых, уравнение может иметь несколько корней (решений). Например, второе уравнение ( х — 1 ) ( х ^ 3 ) ( х — 4) = 0 имеет 3 корня: 1, 3, 4. В-третьих, уравнение может иметь бесконечное множество кор­ ней (решений). Например, 3-е уравнение 2 х : х = 2 имеет бесконеч­ ное множество корней — все бесконечное множество рациональных чисел, кр >ме нуля. В-четвертых, уравнение может совсем не иметь корней (реше­ ний), как в случае 4-го уравнения х = х + 3. 10* + 5 ? П р и м е ч а н и е . Как показывает 5-й пример, уравнение ------— — 8 может X "f*5 иметь корни или совсем их не иметь в зависимости от того, каковы допустимые значения для неизвестного. Если справедливость тождеств доказывают, а арифметические равенства проверяют, верны они или нет, то про уравнения гово­ рят, что их решают, когда находят их корни или убеждаются в их отсутствии. Задачу решения уравнения сформулируем так: О п р е д е л е н и е . Решить уравнение — значит найти все его корни (решения) или установить, что их нет. Иначе говоря: решить уравнение — значит узнать: 1. Имеет ли оно корни и 2. Если имеет, то какие именно. О задаче решения уравнения нам хорошо напоминает особы знак уравнения = , которым мы до сих пор позьзовались. В даль­ нейшем, как правило, будем записывать уравнение не с помощью специального знака уравнения = , а с помощью общего знака ра­ венства „ = “, за исключением тех случаев, где будет важно отли­ чать уравнение от тождества или верного равенства. Корни уравнения (значения неизвестного) будем записывать с помощью знака „= * верного равенства. Например, корень уравне­ ния х=?=5 или х = 5 будем обозначать так: х з е 5 и читать: икс ра­ вен пяти, или значение икса — 5. Не следует путать запись уравне­ ния х = 5, или х==5, где л: — любое число, с записью х = 5 , где х обозначает только однс} число 5. Упражнение. Придумайте уравнения, не имеющие решений; имеющие одно, более одного и бесконечное множество решений, и решите их. 3. Равносильные уравнения О п р е д е л е н и е . Два или более уравнений называются равно­ сильными, если у них одни и те же решения (корни) или они сов­ сем не имеют корней. Поясним это определение примерами. 1. Уравнения: х + 2 = 5 и 2х = 6 - равносильные, так как у них один и тот же корень 3. 2. Уравнения х 2 = 4 и (х —-2)- (х + 2) = 0 — равносильные, так как у них одни и те же корни 2 и — 2 . 3. Уравнения х + 2 = 2 + х и 2х + х = Зх — равносильные, так как они удовлетворяются при одних и тех же любых рациональных значениях неизвестного. 238